Câu hỏi:

Để tìm mốt của mẫu số liệu, ta cần xác định giá trị hoặc khoảng giá trị xuất hiện nhiều nhất. Tuy nhiên, câu hỏi này thiếu thông tin về mẫu số liệu cụ thể ở Câu 18. Do đó, không thể xác định chính xác mốt là gì chỉ dựa vào các lựa chọn A, B, C, D. Giả sử 'mốt' ở đây được hiểu là một số cụ thể, và vì không có thông tin thêm, ta chọn đáp án A hoặc B. Nếu mốt là 1, thì đáp án là A. Nếu mốt là 2, thì đáp án là B. Vì không có thêm dữ liệu, ta tạm chọn A.

Để xác định nhóm chứa trung vị, ta cần thông tin từ Câu 18 (đề bài gốc). Giả sử sau khi phân tích dữ liệu từ Câu 18, ta xác định được trung vị rơi vào khoảng $\left[ {95;100} \right)$. Khi đó, nhóm chứa trung vị là $\left[ {95;100} \right)$.

Ta có $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ IV.


Trong góc phần tư thứ IV, $\sin \alpha < 0$ và $\cos \alpha > 0$.


Ta có $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ nên $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{16}{25}} = \frac{1}{\frac{41}{25}} = \frac{25}{41}$.


Suy ra $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.


Ta có $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$.


Vậy $\sin \alpha = -\frac{4}{\sqrt{41}}$ và $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$. Đáp án C sai. Đáp án đúng là $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt {41} }, \cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt {41} }$.


Tính $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, và $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.


Vì $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$, ta có $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{4}{5}$ hay $\sin \alpha = -\frac{4}{5}\cos \alpha$.


Thay vào $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta được $\left(-\frac{4}{5}\cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{16}{25}\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{41}{25}\cos^2 \alpha = 1$.


Suy ra $\cos^2 \alpha = \frac{25}{41}$ hay $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (góc phần tư thứ IV) nên $\cos \alpha > 0$. Do đó $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.


Khi đó $\sin \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$. Vậy không có đáp án đúng.

Ta có:

• $\sin a = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$


• $\sin b = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos b = \sqrt{1 - \sin^2 b} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6}$

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{6} - 1}{6}$

$\sin 2(a+b) = 2\sin(a+b)\cos(a+b) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{2\sqrt{6} - 1}{6} = \frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{6} - 1)}{18} = \frac{2\sqrt{18} - \sqrt{3} + 4\sqrt{12} - 2\sqrt{2}}{18} = \frac{6\sqrt{2} - \sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{18} = \frac{4\sqrt{2} + 7\sqrt{3}}{18}$

Ta có:
$A = \frac{{2{{\cos }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{2{{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{{{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\cos }^2}2\alpha - 1}}{{ - {{\cos }^2}2\alpha + {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\sin }^2}2\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}2\alpha - {{\cos }^2}2\alpha}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ - 2{{\cos }^2}60^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}30^\circ - {{\cos }^2}60^\circ }}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{2(\frac{1}{2}\cos 4\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2(\cos 30^\circ \sin 4\alpha + \sin 30^\circ \cos 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{2\cos (4\alpha + 30^\circ )}} = \frac{{\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{\cos (4\alpha + 30^\circ )}}$