Hàm số sin đồng biến trên khoảng nào?

Câu 25:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 7 - 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ lần lượt là

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 26:

Giải phương trình $\sin x = - \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: $\sin x = - \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$
$\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} - x + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + x + k2\pi \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\0x = \frac{2\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi $ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Vậy đáp án là $x = - \frac{\pi }{6} + k\pi $

Câu 27:

Phương trình $\sin x - \sqrt 3 \cos x = 1$ chỉ có các nghiệm là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $\sin x - \sqrt 3 \cos x = 1$ tương đương với:
$ \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x - \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ \end{gathered} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\ \end{gathered} \right.$, $k \in \mathbb{Z}$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ hoặc $x = - \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi$.

Câu 28:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = \frac{{2n}}{{{n^2} + 1}}$. Số $\frac{9}{{41}}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $u_n = \frac{9}{41} \Leftrightarrow \frac{{2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{9}{41} \Leftrightarrow 9{n^2} - 82n + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 9\n = \frac{1}{9}(L)\end{array} \right.$
Vậy số $\frac{9}{{41}}$ là số hạng thứ 9 của dãy.

Câu 29:

Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để một dãy số bị chặn, nó phải bị chặn trên và chặn dưới.

Dãy $a_n = \sqrt{n+10}$ không bị chặn trên vì khi $n$ tiến đến vô cùng, $a_n$ cũng tiến đến vô cùng.
Dãy $b_n = \sqrt{5n+10}$ không bị chặn trên vì khi $n$ tiến đến vô cùng, $b_n$ cũng tiến đến vô cùng.
Dãy $v_n = \sqrt{5n-6}$ không bị chặn trên vì khi $n$ tiến đến vô cùng, $v_n$ cũng tiến đến vô cùng.
Xét dãy $u_n = \sqrt{n+10} + \sqrt{20-n}$. Điều kiện để dãy này xác định là $n+10 \geq 0$ và $20-n \geq 0$, suy ra $-10 \leq n \leq 20$. Vì $n$ chỉ nhận các giá trị trong đoạn $[-10, 20]$ nên dãy số này bị chặn trên và chặn dưới.

Vậy đáp án là C.

Câu 30:

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_5} = 18$ và $4{S_n} = {S_{2n}}$. Số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ là

Lời giải: