Câu hỏi:

Gọi $A$ là tập hợp các học sinh giỏi Văn, $B$ là tập hợp các học sinh giỏi Toán.


Số học sinh giỏi ít nhất một môn là: $40 - 14 = 26$.


Ta có: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.


Suy ra: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 15 + 22 - 26 = 11$.


Vậy số học sinh giỏi cả Văn và Toán là 11.

Vì A = B nên ta có:
$\begin{cases} 2a + 3b - 1 = 4 \\ 3a - b + 5 = 7 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2a + 3b = 5 \\ 3a - b = 2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2a + 3b = 5 \\ 9a - 3b = 6 \end{cases}$
$\Leftrightarrow 11a = 11 \Leftrightarrow a = 1$
Thay a = 1 vào phương trình 3a - b = 2 ta được:
3(1) - b = 2 $\Leftrightarrow$ b = 1
Vậy M = a² + b² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2. Vậy không có đáp án đúng.

Kiểm tra lại đề bài thấy A=[4;7] và B=[2a+3b-1; 3a-b+5] thì
$\begin{cases} 2a+3b-1=7 \\ 3a-b+5=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a+3b=8 \\ 3a-b=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a+3b=8 \\ 9a-3b=-3 \end{cases} \Leftrightarrow 11a=5 \Leftrightarrow a=\frac{5}{11}$
Khi đó $b=3a+1=\frac{15}{11}+1 = \frac{26}{11}$
Vậy $M=a^2+b^2 = (\frac{5}{11})^2 + (\frac{26}{11})^2 = \frac{25+676}{121} = \frac{701}{121} \approx 5.79$
Tuy nhiên nếu đề bài là A=[4;7] và B=[3a-b+5; 2a+3b-1] thì
$\begin{cases} 3a-b+5=4 \\ 2a+3b-1=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a-b=-1 \\ 2a+3b=8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9a-3b=-3 \\ 2a+3b=8 \end{cases} \Leftrightarrow 11a=5 \Leftrightarrow a=\frac{5}{11}$
Khi đó $b=3a+1=\frac{15}{11}+1 = \frac{26}{11}$
Vậy $M=a^2+b^2 = (\frac{5}{11})^2 + (\frac{26}{11})^2 = \frac{25+676}{121} = \frac{701}{121} \approx 5.79$

Nếu A=[4;7] và B=[2a+3b-1;3a-b+5] và đề hỏi giá trị $a+b$? và A=B thì
$\begin{cases} 2a + 3b - 1 = 4 \\ 3a - b + 5 = 7 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2a + 3b = 5 \\ 3a - b = 2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2a + 3b = 5 \\ 9a - 3b = 6 \end{cases}$
$\Leftrightarrow 11a = 11 \Leftrightarrow a = 1$
Thay a = 1 vào phương trình 3a - b = 2 ta được:
3(1) - b = 2 $\Leftrightarrow$ b = 1
Vậy a+b = 1+1 = 2 (Đáp án A).

Với A=[4;7] và B=[2a+3b-1;3a-b+5] và đề hỏi giá trị $a^2+b^2$ và A=[7;4] thì
$\begin{cases} 2a+3b-1 = 7 \\ 3a-b+5 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a+3b = 8 \\ 3a-b = -1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2a+3b = 8 \\ 9a-3b = -3 \end{cases} \Leftrightarrow 11a=5 \Leftrightarrow a=\frac{5}{11}$
Khi đó $b=3a+1=\frac{15}{11}+1 = \frac{26}{11}$
Vậy $M=a^2+b^2 = (\frac{5}{11})^2 + (\frac{26}{11})^2 = \frac{25+676}{121} = \frac{701}{121} \approx 5.79$

Gọi $A$ là tập hợp các học sinh giỏi Toán, $B$ là tập hợp các học sinh giỏi Lý.

Ta có: $|A| = 10$, $|B| = 15$. Số học sinh không giỏi môn nào là 19.

Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn là: $40 - 19 = 21$.

Theo công thức $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, ta có:

$21 = 10 + 15 - |A \cap B|$

$|A \cap B| = 10 + 15 - 21 = 4$.

Vậy, số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý là 4.

Để $A \cap B = \emptyset$, ta cần không có phần tử nào thuộc cả A và B.
Điều kiện $|x - m| \leq 25$ tương đương với $m - 25 \leq x \leq m + 25$. Vậy A là tập các số nguyên từ $m-25$ đến $m+25$.
Điều kiện $|x| \geq 2020$ tương đương với $x \geq 2020$ hoặc $x \leq -2020$. Vậy B là tập các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2020 hoặc nhỏ hơn hoặc bằng -2020.
Để $A \cap B = \emptyset$, ta cần $m + 25 < 2020$ và $m - 25 > -2020$.
Từ $m + 25 < 2020$ suy ra $m < 1995$.
Từ $m - 25 > -2020$ suy ra $m > -1995$.
Vậy $-1995 < m < 1995$. Số các giá trị nguyên của m là $1994 - (-1994) + 1 = 1994 + 1994 + 1 = 3989$.
Vậy đáp án là 3989.

Để $P \setminus Q = \emptyset$, ta cần $P \subseteq Q$. Điều này có nghĩa là mọi phần tử của P đều phải thuộc Q.
Điều kiện cần và đủ là:
- $3m - 6 > -2$
- $m + 1 \ge 4$
Giải hệ bất phương trình này:
- $3m > 4 \Leftrightarrow m > \frac{4}{3}$
- $m \ge 3$
Kết hợp hai điều kiện, ta có $m \ge 3$. Tuy nhiên, ta cần xét thêm điều kiện để $P \subseteq Q$ là:
$3m - 6 > -2$ và $4 \le m+1$ suy ra $m \ge 3$.
Điều kiện $P \subset Q $ là $3m - 6 > -2$ và $4 \le m + 1$ nên $ m > 4/3$ và $m \ge 3$ nên $m \ge 3$.
Mặt khác, $4 < m+1$ nên $m > 3$. Để $P \subseteq Q$, ta cần $3m - 6 > -2$ và $m + 1 \ge 4$ hay $3m - 6 > -2$ và $4 \le m+1$. Từ đó $m > \frac{4}{3}$ và $m \ge 3$. Vì vậy $m \ge 3$.
Xét $3m - 6 > -2$ và $4 \le m + 1$. Suy ra $3m > 4$, $m > \frac{4}{3}$ và $m \ge 3$.
Để $P \subseteq Q$, ta cần $3m - 6 > -2$ và $4 < m + 1$ (vì đây là khoảng).
Từ $3m - 6 > -2$ ta có $3m > 4$, vậy $m > \frac{4}{3}$.
Từ $4 < m + 1$ ta có $m > 3$.
Xét $P = [3m - 6; 4]$ và $Q = (-2; m + 1)$.
Để $P \subseteq Q$, ta cần:
$3m - 6 > -2$ và $m + 1 \ge 4$.
Suy ra $3m > 4$, $m > \frac{4}{3}$ và $m \ge 3$. Vậy $m \ge 3$.
Ngoài ra, ta cần $m+1 > 4$ hay $m >3$,
Ta có $P\setminus Q = \emptyset$ khi $P \subseteq Q$, tức là $(3m-6 > -2)$ và $(m+1 >= 4)$. Khi đó $m > 4/3$ và $m >=3$.
Vậy $m >= 3$. Ta còn cần $4 < m+1$, suy ra $m > 3$. Vậy $3m-6 < 4 \Rightarrow 3m < 10 \Rightarrow m < \frac{10}{3}$.
Vậy $3 \le m < \frac{10}{3}$.