Câu hỏi:

Ta có $\widehat{C} = 180^{\circ} - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^{\circ} - 105^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Có vẻ như không có đáp án nào đúng với kết quả này. Tuy nhiên, có thể đề bài hoặc các đáp án có vấn đề. Để giải thích đáp án C, ta xét:

Nếu $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, thì$\frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \frac{\sin 30}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \sin B = \frac{\sin 30 \cdot 3}{\sqrt{6}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.612 \Rightarrow B \approx 37.76^{\circ}$

Nếu đề bài cho $\widehat{A}=75^{\circ}$ thì $\widehat{C} = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 45^{\circ}=60^{\circ}$.
Khi đó $\frac{AB}{AC}=\frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ nên không có đáp án đúng.
Tuy nhiên, nếu góc A là $105^\circ$ thì góc C là $30^\circ$, ta có: $\frac{AB}{AC} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 30}{\sin 45} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án B đúng. (Có lẽ đáp án C là một lỗi đánh máy). Nếu đáp án C là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ thì $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ không thoả mãn.
Xét trường hợp khác: $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC}$. Áp dụng định lý hàm sin ta có $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$.
$\frac{BC}{AC} = \frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin 105}{\sin 45} = \frac{\sin(60+45)}{\sin 45} = \frac{\sin 60 \cos 45 + \cos 60 \sin 45}{\sin 45} = \sin 60 + \cos 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \approx 1.366$. Không có đáp án nào đúng.

Gọi x (triệu đồng) là số tiền giảm giá mỗi chiếc xe (x >= 0). Khi đó, giá bán mỗi chiếc xe là 31-x (triệu đồng).
Số lượng xe bán được trong một năm là 600 + 200x (chiếc).
Lợi nhuận thu được từ việc bán xe là:
L(x) = (31 - x - 27)(600 + 200x) = (4 - x)(600 + 200x) = 2400 + 800x - 600x - 200x^2 = -200x^2 + 200x + 2400.
Để tìm giá trị lớn nhất của L(x), ta xét hàm số L(x) = -200x^2 + 200x + 2400.
Đỉnh của parabol là xv = -b/2a = -200/(2(-200)) = 1/2 = 0.5.
Vậy, số tiền giảm giá để lợi nhuận cao nhất là 0.5 triệu đồng.
Giá bán mỗi chiếc xe khi đó là 31 - 0.5 = 30.5 triệu đồng. Tuy nhiên, các đáp án không có 30.5.
Ta kiểm tra các giá trị gần đỉnh:
Nếu giảm 1 triệu : Bán 800 chiếc , lãi 3 triệu / chiếc -> 2400 triệu
Số tiền giảm là x, giá bán là 31 - x và số xe bán được là 600 + 200x
Lợi nhuận là : (31 - x - 27)(600 + 200x) = (4 - x)(600 + 200x) = -200x^2 + 200x + 2400
L'(x) = -400x + 200 = 0 => x = 0.5
Vậy giá bán để lợi nhuận cao nhất là 31 - 0.5 = 30.5 (triệu). Chọn đáp án gần nhất là 29 triệu.

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, với M là trung điểm BC. Ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ nên $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Câu hỏi này không phải là trắc nghiệm và yêu cầu giải một bài toán hình học. Để giải quyết, ta cần thông tin về vị trí tương đối của các điểm D, G, E và biểu thức liên hệ với x. Sau khi tìm được x để D, G, E thẳng hàng, ta cần tính độ dài DG và DE dựa trên x đó, rồi mới tính tỉ số $\frac{DG}{DE}$. Do đó, không thể đưa ra một đáp án trắc nghiệm cụ thể mà cần giải chi tiết bài toán.