Câu hỏi:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là $x$ và $y$ (m), với $x$ là chiều dài của cạnh song song với bờ sông.

Ta có $x + 2y = 300$, suy ra $x = 300 - 2y$.

Diện tích của cánh đồng là $S = xy = (300 - 2y)y = 300y - 2y^2$.

Để tìm diện tích lớn nhất, ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S(y) = 300y - 2y^2$.

Đạo hàm của $S(y)$ là $S'(y) = 300 - 4y$.

Giải phương trình $S'(y) = 0$, ta được $300 - 4y = 0 \Rightarrow y = 75$.

Khi đó $x = 300 - 2(75) = 300 - 150 = 150$.

Vậy diện tích lớn nhất là $S = 150 \times 75 = 11250$ m$^2$.

Gọi $x$ là số ngày máy $X$ làm việc, $y$ là số ngày máy $Y$ làm việc.\nTa có $x + y = 10$ và $0 \le y \le 6$, suy ra $4 \le x \le 10$.\nSố tiền lãi thu được là $L = 4x + 5y = 4x + 5(10 - x) = 50 - x$.\nĐể $L$ lớn nhất thì $x$ phải nhỏ nhất. Vì $4 \le x \le 10$ nên $x = 4$.

Gọi $H(x;y;z)$. Ta có $A'(x;0;0), B'(0;y;0), C'(0;0;z)$.
Khi đó, mặt phẳng $(A'B'C')$ có phương trình $\dfrac{x}{x} + \dfrac{y}{y} + \dfrac{z}{z} = 1$.
Vì $H$ là trực tâm tam giác $A'B'C'$ nên $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(A'B'C')$.
Đường thẳng $OH$ vuông góc với $(A'B'C')$ có phương trình tham số:
$\begin{cases}x = t \\ y = 2t \\ z = 3t \end{cases}$
Tọa độ hình chiếu $H$ thỏa mãn:
$\dfrac{t}{2} + \dfrac{2t}{3} + \dfrac{3t}{6} = 1 \Rightarrow t = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7}$
$\Rightarrow H(\dfrac{3}{7}; \dfrac{6}{7}; \dfrac{9}{7})$
Vậy $OH = \sqrt{(\dfrac{3}{7})^2 + (\dfrac{6}{7})^2 + (\dfrac{9}{7})^2} = \sqrt{\dfrac{9+36+81}{49}} = \sqrt{\dfrac{126}{49}} = \sqrt{\dfrac{18}{7}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{7}$. Vậy đáp án không có trong các đáp án trên.

Gọi $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$, $\vec{c} = \overrightarrow{AD}$. Ta có:

• $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$
• $\vec{a}.\vec{b} = a.a.cos60^o = \frac{a^2}{2}$
• $\vec{a}.\vec{c} = a.a.cos60^o = \frac{a^2}{2}$
• $\vec{b}.\vec{c} = a.a.cos90^o = 0$

Vì $BC=3BM$ nên $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a})$.
Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.
Vì $G$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
Suy ra $\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) - (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.
Vậy $MG^2 = \overrightarrow{MG}^2 = (-\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})^2 = \frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{36}a^2 + \frac{1}{4}a^2 - \frac{2}{9}a^2 + 0 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{17}{36}a^2$.
Do đó $MG = \sqrt{\frac{17}{36}a^2} = \frac{a\sqrt{17}}{6}$.

Gọi $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, và $n$ là số lượng phần tử của mẫu.


Ta có công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:


$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \overline{x})^2$


Trong đó, $\overline{x}$ là trung bình của mẫu, được tính bởi:


$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$


Với bảng số liệu đã cho, ta có:

• $x_1 = 152.5, n_1 = 5$


• $x_2 = 157.5, n_2 = 10$


• $x_3 = 162.5, n_3 = 12$


• $x_4 = 167.5, n_4 = 9$


• $x_5 = 172.5, n_5 = 4$

Tổng số học sinh: $n = 5 + 10 + 12 + 9 + 4 = 40$ (Đề bài cho là 43, nhưng tổng tần số trong bảng là 40, ta sử dụng 40 để tính toán).


Trung bình của mẫu:


$\overline{x} = \frac{5(152.5) + 10(157.5) + 12(162.5) + 9(167.5) + 4(172.5)}{40} = \frac{762.5 + 1575 + 1950 + 1507.5 + 690}{40} = \frac{6485}{40} = 162.125$


Phương sai của mẫu:


$s^2 = \frac{1}{40} [5(152.5 - 162.125)^2 + 10(157.5 - 162.125)^2 + 12(162.5 - 162.125)^2 + 9(167.5 - 162.125)^2 + 4(172.5 - 162.125)^2]$


$s^2 = \frac{1}{40} [5(-9.625)^2 + 10(-4.625)^2 + 12(0.375)^2 + 9(5.375)^2 + 4(10.375)^2]$


$s^2 = \frac{1}{40} [5(92.640625) + 10(21.390625) + 12(0.140625) + 9(28.90625) + 4(107.640625)]$


$s^2 = \frac{1}{40} [463.203125 + 213.90625 + 1.6875 + 260.15625 + 430.5625]$


$s^2 = \frac{1369.515625}{40} = 34.237890625$


Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được $s^2 \approx 34.24$


Tuy nhiên, do đề bài cho tổng số học sinh là 43, nên ta cần chuẩn hóa lại kết quả.


$s^2 \approx 34.24 * (40/43) = 31.85581395 \approx 31.86$


Đáp án gần nhất là 34.24 nhưng không có trong đáp án. Xem xét lại đề bài ta thấy tổng tần số là 40, đề lại cho 43 học sinh. Nếu ta sử dụng công thức phương sai mẫu (chia cho n-1) thì
$s^2 = \frac{1}{39} [5(152.5 - 162.125)^2 + 10(157.5 - 162.125)^2 + 12(162.5 - 162.125)^2 + 9(167.5 - 162.125)^2 + 4(172.5 - 162.125)^2]$
$s^2 = \frac{1369.515625}{39} = 35.115785 \approx 35.12$
đáp án này cũng không khớp
Có lẽ có một lỗi trong đề bài hoặc bảng số liệu. Tuy nhiên, theo các đáp án đã cho thì 162.5 gần nhất với giá trị trung bình.