Câu hỏi:

Xét hàm số $y=x^2-3 x+5$ trên đoạn $[0 ; 2]$.

Ta có $y^{\prime}=2 x-3$.

$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 2 x-3=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2} .$

Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=0, x=2$ và $x=\frac{3}{2}$ :

$\begin{aligned}

& y(0)=0^2-3(0)+5=5 \\

& y(2)=2^2-3(2)+5=4-6+5=3 \\

& y\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\left(\frac{3}{2}\right)+5=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+5=\frac{9-18+20}{4}=\frac{11}{4}=2.75

\end{aligned}$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0 ; 2]$ là 5 .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0;d)$ với $d>0$ nên ta loại đáp án C.

$\lim_{x \to +\infty} y=+\infty$, suy ra hệ số $a>0$ nên ta loại đáp án D.

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_1, x_2$, dựa vào hình vẽ ta thấy $x_1, x_2$ trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B và chọn A.

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng: $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$, quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{d}{c}>0 \\ \frac{a}{c}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cd<0 \\ ac>0 \end{matrix}\right.$

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(-\frac{b}{a};0\right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{a}>0 \\ \frac{b}{d}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab<0 \\ bd>0 \end{matrix}\right.$.

Với $a>0 \Rightarrow b<0; c>0; d<0$.

Với $a<0 \Rightarrow b>0; c<0; d>0$.

Do đó $a>0, b<0, c>0, d<0$.

Ta có: $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}$

• $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$


• $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Suy ra $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{b})$

– Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

Trên các khoảng $(-\infty;-3)$ và $(-1;+\infty)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này.

Trên các khoảng $(-3;-2)$ và $(-2;-1)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.

Vậy ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = -3$; đạt cực tiểu tại $x = -1$, do đó ý b) đúng.

– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x = -2$, do đó ý c) sai.

– Vì $x = -2$ là tiệm cận đứng nên $n=2$. Khi đó, $y = f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$.

$y' = \frac{ax^2+4ax+2b-c}{(x+2)^2}$; $y'=0 \Leftrightarrow ax^2+4ax+2b-c=0 \quad (*)$.

Ta có $x = -1$ là một nghiệm của phương trình $(*)$, do đó $-3a+2b-c=0$.

Các điểm $(-1;1)$, $(-3;-3)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số $y = f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$.

Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} -3a+2b-c=0 \\ a-b+c=1 \\ -9a+3b-c=-3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=3 \end{cases}$.

Vậy công thức xác định hàm số đã cho là $y = \frac{x^2+3x+3}{x+2}$. Do đó, ý d) đúng.