Câu hỏi:

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng: $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$, quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{d}{c}>0 \\ \frac{a}{c}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cd<0 \\ ac>0 \end{matrix}\right.$

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(-\frac{b}{a};0\right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{a}>0 \\ \frac{b}{d}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab<0 \\ bd>0 \end{matrix}\right.$.

Với $a>0 \Rightarrow b<0; c>0; d<0$.

Với $a<0 \Rightarrow b>0; c<0; d>0$.

Do đó $a>0, b<0, c>0, d<0$.

Ta có: $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}$

• $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$


• $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Suy ra $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{b})$

– Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

Trên các khoảng $(-\infty;-3)$ và $(-1;+\infty)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này.

Trên các khoảng $(-3;-2)$ và $(-2;-1)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.

Vậy ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = -3$; đạt cực tiểu tại $x = -1$, do đó ý b) đúng.

– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x = -2$, do đó ý c) sai.

– Vì $x = -2$ là tiệm cận đứng nên $n=2$. Khi đó, $y = f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$.

$y' = \frac{ax^2+4ax+2b-c}{(x+2)^2}$; $y'=0 \Leftrightarrow ax^2+4ax+2b-c=0 \quad (*)$.

Ta có $x = -1$ là một nghiệm của phương trình $(*)$, do đó $-3a+2b-c=0$.

Các điểm $(-1;1)$, $(-3;-3)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số $y = f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$.

Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} -3a+2b-c=0 \\ a-b+c=1 \\ -9a+3b-c=-3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=3 \end{cases}$.

Vậy công thức xác định hàm số đã cho là $y = \frac{x^2+3x+3}{x+2}$. Do đó, ý d) đúng.

Xét hàm số $y=f(x) = x^3-3x^2-9x + 5$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

– Ta có $y' = 3x^2-6x-9$; $y'=0$ khi $x = -1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=3$, $y_{CT}=-22$; đạt cực đại tại $x = -1$, $y_{CĐ}=10$. Do đó, ý b) sai.

– Với $x=0$ thì $y=5$; với $x=1$ thì $y=-6$; với $x = -1$ thì $y=10$.

Do đó, đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm $(0;5)$, $(1;-6)$, $(-1;10)$.

Do đó, ý c) sai.

– Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng $y=-22$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Do đó, ý d) sai.

– Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$ nên ý a) sai.

– Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$; $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$.

Vậy ý b) đúng.

$\begin{cases} \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO} \\ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO} \end{cases}$, do đó $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ nên ý c) đúng.

– Ta có

$\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OD}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} + (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} = \vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG}$.

Vậy ý d) sai.