Câu hỏi:

Ta có các công thức lượng giác cơ bản sau:

• $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ với $\cos \alpha \neq 0$
• $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ với $\sin \alpha \neq 0$

Vậy đáp án đúng là $\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }; \, \cos \alpha \ne 0$

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$ (đúng theo công thức góc liên kết)
• Đáp án B: $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$ (đúng theo công thức góc phụ nhau)
• Đáp án C: $\tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\cot x$ (sai, phải là $-\cot x$)
• Đáp án D: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ (đúng theo công thức góc phụ nhau)

Vậy đáp án sai là C.

Ta có $\sin a = \dfrac{1}{3}$.

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$

$\Rightarrow |\cos a| = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì không có điều kiện của $a$ nên ta xét 2 trường hợp.


TH1: $\cos a = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = 2\sqrt{2}$

$A = \dfrac{2\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{4} + 2(2\sqrt{2})} = \dfrac{\dfrac{8\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{2} + 16\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{7\sqrt{2}}{17\sqrt{2}} = \dfrac{7}{17}$


TH2: $\cos a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = \dfrac{1}{-2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = -2\sqrt{2}$

$A = \dfrac{-2\sqrt{2} - (-\dfrac{\sqrt{2}}{4})}{-\dfrac{\sqrt{2}}{4} + 2(-2\sqrt{2})} = \dfrac{\dfrac{-8\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}}{\dfrac{-\sqrt{2} - 16\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{-7\sqrt{2}}{-17\sqrt{2}} = \dfrac{7}{17}$

Vậy $A = \dfrac{7}{17}$

Điều kiện xác định của hàm số là:
$\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$
$\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi, k \in \mathbb{Z}$
Kết hợp hai điều kiện, ta có $x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \, \big| \, k\in \mathbb{Z} \right\}$