Câu hỏi:

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$ (đúng theo công thức góc liên kết)
• Đáp án B: $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$ (đúng theo công thức góc phụ nhau)
• Đáp án C: $\tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\cot x$ (sai, phải là $-\cot x$)
• Đáp án D: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ (đúng theo công thức góc phụ nhau)

Vậy đáp án sai là C.

Ta có $\sin a = \dfrac{1}{3}$.

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$

$\Rightarrow |\cos a| = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì không có điều kiện của $a$ nên ta xét 2 trường hợp.


TH1: $\cos a = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = 2\sqrt{2}$

$A = \dfrac{2\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{4} + 2(2\sqrt{2})} = \dfrac{\dfrac{8\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{2} + 16\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{7\sqrt{2}}{17\sqrt{2}} = \dfrac{7}{17}$


TH2: $\cos a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = \dfrac{1}{-2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = -2\sqrt{2}$

$A = \dfrac{-2\sqrt{2} - (-\dfrac{\sqrt{2}}{4})}{-\dfrac{\sqrt{2}}{4} + 2(-2\sqrt{2})} = \dfrac{\dfrac{-8\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}}{\dfrac{-\sqrt{2} - 16\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{-7\sqrt{2}}{-17\sqrt{2}} = \dfrac{7}{17}$

Vậy $A = \dfrac{7}{17}$

Điều kiện xác định của hàm số là:
$\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$
$\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi, k \in \mathbb{Z}$
Kết hợp hai điều kiện, ta có $x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \, \big| \, k\in \mathbb{Z} \right\}$

Hàm số $y=\dfrac{1}{\sin x - \cos x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là $\sin x - \cos x \neq 0$.

Điều này tương đương với $\sin x \neq \cos x$.

Chia cả hai vế cho $\cos x$ (với điều kiện $\cos x \neq 0$), ta được $\tan x \neq 1$.

$x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Tuy nhiên, ta cũng cần xét trường hợp $\cos x = 0$, tức là $x = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$, với $l \in \mathbb{Z}$.

Khi $x = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$, thì $\sin x = \pm 1$ và $\cos x = 0$. Do đó, $\sin x - \cos x = \pm 1 \neq 0$, nên các giá trị $x = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$ đều thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số.

Ta cần tìm xem có giá trị nào của $k$ và $l$ sao cho $\dfrac{\pi}{4} + k\pi = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$ hay không.

$\dfrac{\pi}{4} + k\pi = \dfrac{\pi}{2} + l\pi \Leftrightarrow k - l = \dfrac{1}{4}$, điều này không thể xảy ra vì $k$ và $l$ là các số nguyên.

Vậy, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \Big\{ \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Big\}$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Nhưng đáp án này không có trong các lựa chọn. Ta có thể biến đổi như sau:

$x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4} + 2k'\dfrac{\pi}{2}$ hoặc $x \neq \dfrac{\pi}{4} + (2k'+1)\dfrac{\pi}{2}$.

Điều này có thể được viết gọn lại là $x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{n\pi}{2}$, với $n \in \mathbb{Z}$.

Vậy, tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash \Big\{ \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2} \, \big| \, k \in \mathbb{Z} \Big\}$

Ta có $\cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.