Câu hỏi:

Điều kiện xác định của hàm số là:
$\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$
$\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi, k \in \mathbb{Z}$
Kết hợp hai điều kiện, ta có $x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \, \big| \, k\in \mathbb{Z} \right\}$

Hàm số $y=\dfrac{1}{\sin x - \cos x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là $\sin x - \cos x \neq 0$.

Điều này tương đương với $\sin x \neq \cos x$.

Chia cả hai vế cho $\cos x$ (với điều kiện $\cos x \neq 0$), ta được $\tan x \neq 1$.

$x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Tuy nhiên, ta cũng cần xét trường hợp $\cos x = 0$, tức là $x = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$, với $l \in \mathbb{Z}$.

Khi $x = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$, thì $\sin x = \pm 1$ và $\cos x = 0$. Do đó, $\sin x - \cos x = \pm 1 \neq 0$, nên các giá trị $x = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$ đều thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số.

Ta cần tìm xem có giá trị nào của $k$ và $l$ sao cho $\dfrac{\pi}{4} + k\pi = \dfrac{\pi}{2} + l\pi$ hay không.

$\dfrac{\pi}{4} + k\pi = \dfrac{\pi}{2} + l\pi \Leftrightarrow k - l = \dfrac{1}{4}$, điều này không thể xảy ra vì $k$ và $l$ là các số nguyên.

Vậy, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \Big\{ \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Big\}$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Nhưng đáp án này không có trong các lựa chọn. Ta có thể biến đổi như sau:

$x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4} + 2k'\dfrac{\pi}{2}$ hoặc $x \neq \dfrac{\pi}{4} + (2k'+1)\dfrac{\pi}{2}$.

Điều này có thể được viết gọn lại là $x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{n\pi}{2}$, với $n \in \mathbb{Z}$.

Vậy, tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash \Big\{ \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2} \, \big| \, k \in \mathbb{Z} \Big\}$

Ta có $\cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Ta có $\sin \Big(2x+\dfrac{\pi }{3} \Big)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin \dfrac{\pi}{3}$
\begin{itemize}

$2x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi$

$2x + \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$

\end{itemize}
Vậy nghiệm của phương trình là $\left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{aligned} \right., \, \left(\, k\in \mathbb{Z} \right)$

Ta có $\cot \alpha = -3\sqrt{2}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$.

Ta có $1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha} \Rightarrow \sin^2 \alpha = \dfrac{1}{1 + \cot^2 \alpha} = \dfrac{1}{1 + (-3\sqrt{2})^2} = \dfrac{1}{1 + 18} = \dfrac{1}{19}$.

Vì $\sin \alpha > 0$ nên $\sin \alpha = \sqrt{\dfrac{1}{19}} = \dfrac{1}{\sqrt{19}}$.

Khi đó $\cos \alpha = \cot \alpha . \sin \alpha = -3\sqrt{2} . \dfrac{1}{\sqrt{19}} = \dfrac{-3\sqrt{38}}{19}$.

Ta có $\tan \dfrac{\alpha}{2} + \cot \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin \dfrac{\alpha}{2}}{\cos \dfrac{\alpha}{2}} + \dfrac{\cos \dfrac{\alpha}{2}}{\sin \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{\sin^2 \dfrac{\alpha}{2} + \cos^2 \dfrac{\alpha}{2}}{\sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2} \sin \alpha} = \dfrac{2}{\sin \alpha} = 2\sqrt{19}$.

Vậy $\tan \dfrac{\alpha }{2}+\cot \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt{19}$