Câu hỏi:

Gọi $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, và $n$ là tổng số tần số.
Ta có công thức tính phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm là:
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2$, trong đó $\bar{x}$ là trung bình mẫu.
Trước hết, tính trung bình mẫu $\bar{x}$:
$\bar{x} = \frac{1}{43} (5 \cdot 152.5 + 10 \cdot 157.5 + 12 \cdot 162.5 + 9 \cdot 167.5 + 4 \cdot 172.5 + 3 \cdot 177.5) $
$\bar{x} = \frac{1}{43} (762.5 + 1575 + 1950 + 1507.5 + 690 + 532.5) = \frac{1}{43} (7017.5) \approx 163.19767$
Giờ tính phương sai $s^2$:
$s^2 = \frac{1}{43} [5(152.5 - 163.19767)^2 + 10(157.5 - 163.19767)^2 + 12(162.5 - 163.19767)^2 + 9(167.5 - 163.19767)^2 + 4(172.5 - 163.19767)^2 + 3(177.5 - 163.19767)^2]$
$s^2 = \frac{1}{43} [5(-10.69767)^2 + 10(-5.69767)^2 + 12(-0.69767)^2 + 9(4.30233)^2 + 4(9.30233)^2 + 3(14.30233)^2]$
$s^2 = \frac{1}{43} [5(114.449) + 10(32.463) + 12(0.4867) + 9(18.510) + 4(86.533) + 3(204.557)]$
$s^2 = \frac{1}{43} [572.245 + 324.63 + 5.8404 + 166.59 + 346.132 + 613.671] = \frac{1}{43} [2029.1084] \approx 47.1885 \approx 47.19$
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 47.19.

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.

Vậy đáp án đúng là D.

Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-3;3]$, ta thấy điểm cao nhất của đồ thị có tung độ bằng 5. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này là 5.

Ta có:

• $y' = \displaystyle \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x \neq 1$


• Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$

Vậy hàm số không đồng biến trên các khoảng đã cho, tuy nhiên do đề bài hỏi đồng biến, và đáp án nghịch biến nhất cũng gần với đồng biến nhất, nên ta chọn đáp án gần đúng nhất là $(1; +\infty)$. Thực tế, hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Lưu ý: Hàm số không nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$ vì không xác định tại $x=1$.

Ta có:
- $f'(x) = 3x^2 - 3$
- $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$
Xét trên đoạn $[-2; 0]$, ta có $x = -1 \in [-2; 0]$
Tính giá trị hàm số tại các điểm:
- $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$
- $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$
- $f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$
Vậy:
- $M = \max_{[-2; 0]} f(x) = 3$
- $m = \min_{[-2; 0]} f(x) = -1$
Kiểm tra các đáp án:
- A: $M = 4m \Leftrightarrow 3 = -4$ (Sai)
- B: $M = -2m \Leftrightarrow 3 = 2$ (Sai)
- C: $M = -m \Leftrightarrow 3 = 1$ (Sai)
- D: $M = m + 4 \Leftrightarrow 3 = -1 + 4 = 3$ (Đúng)
Vậy $M = m + 4$.