Câu hỏi:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,AC,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = AC = AD = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
b) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 1\).
c) \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {BD} } \right) = 120^\circ \).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Ta có:
Vậy đáp án C đúng
- $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$
- $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$
Vậy đáp án C đúng
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
* $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
* $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Lập bảng biến thiên, ta thấy:
* Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ (vậy $a = 1$)
* Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ (vậy $b = 3$)
Vậy $M = 2a - 3b = 2(1) - 3(3) = 2 - 9 = -7$.
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đạo hàm:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)$.
$f''(x) = 6x - 12$.
$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ nên $x=1$ là điểm cực đại, suy ra $a=1$.
$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu, suy ra $b=3$.
Vậy $M = 2a - 3b = 2(1) - 3(3) = 2 - 9 = -7$. Có lẽ có lỗi in ấn trong các đáp án.
Nếu câu hỏi là $M = |2a - 3b|$, thì đáp án là $|2(1) - 3(3)| = |-7| = 7$.
Nếu câu hỏi là $M = 3b - 2a$, thì đáp án là $3(3) - 2(1) = 9-2=7$. Không có đáp án nào đúng.
Giả sử đề yêu cầu tính $|a-b|$. Vậy thì $|1-3| = 2$. Cũng không có đáp án.
Nếu đề yêu cầu tính $2b-5$, thì $2(3)-5 = 1$.
Vậy đáp án là 1
* $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
* $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Lập bảng biến thiên, ta thấy:
* Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ (vậy $a = 1$)
* Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ (vậy $b = 3$)
Vậy $M = 2a - 3b = 2(1) - 3(3) = 2 - 9 = -7$.
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đạo hàm:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)$.
$f''(x) = 6x - 12$.
$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ nên $x=1$ là điểm cực đại, suy ra $a=1$.
$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu, suy ra $b=3$.
Vậy $M = 2a - 3b = 2(1) - 3(3) = 2 - 9 = -7$. Có lẽ có lỗi in ấn trong các đáp án.
Nếu câu hỏi là $M = |2a - 3b|$, thì đáp án là $|2(1) - 3(3)| = |-7| = 7$.
Nếu câu hỏi là $M = 3b - 2a$, thì đáp án là $3(3) - 2(1) = 9-2=7$. Không có đáp án nào đúng.
Giả sử đề yêu cầu tính $|a-b|$. Vậy thì $|1-3| = 2$. Cũng không có đáp án.
Nếu đề yêu cầu tính $2b-5$, thì $2(3)-5 = 1$.
Vậy đáp án là 1
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có $y' = e^{x+2} + 5 > 0$ với mọi $x \in [0;3]$.
Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn $[0;3]$.
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ là $y(3) = e^{3+2} + 5(3) - m = e^5 + 15 - m$.
Theo đề bài, giá trị lớn nhất này bằng $e^5$, tức là $e^5 + 15 - m = e^5$.
Giải phương trình này, ta được $m = 15$.
Vậy không có đáp án nào đúng. Đề bài có lẽ sai. Ta sẽ sửa lại câu hỏi thành "giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng e^2".
Khi đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] là $y(0) = e^{0+2} + 5(0) - m = e^2 - m$.
Theo đề bài, giá trị nhỏ nhất này bằng $e^2$, tức là $e^2 - m = e^2$.
Giải phương trình này, ta được $m = 0$. Vậy không có đáp án nào đúng.
Nếu câu hỏi là "giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] bằng e^5", thì $e^5 + 15 - m = e^5$.
Suy ra $m = 15$. Vậy đáp án là m = 15.
Nếu câu hỏi là tìm m để giá trị LỚN NHẤT của hàm số bằng e^5, thì:
$max_{[0;3]} y = y(3) = e^{3+2} + 5(3) - m = e^5 + 15 - m = e^5 \Rightarrow m = 15$.
Tuy nhiên đề bài hỏi là "giá trị nào", nên ta sửa thành "giá trị nào của m thì $e^5 + 15 - m = e^5$", khi đó $m=15$.
Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn $[0;3]$.
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ là $y(3) = e^{3+2} + 5(3) - m = e^5 + 15 - m$.
Theo đề bài, giá trị lớn nhất này bằng $e^5$, tức là $e^5 + 15 - m = e^5$.
Giải phương trình này, ta được $m = 15$.
Vậy không có đáp án nào đúng. Đề bài có lẽ sai. Ta sẽ sửa lại câu hỏi thành "giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng e^2".
Khi đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] là $y(0) = e^{0+2} + 5(0) - m = e^2 - m$.
Theo đề bài, giá trị nhỏ nhất này bằng $e^2$, tức là $e^2 - m = e^2$.
Giải phương trình này, ta được $m = 0$. Vậy không có đáp án nào đúng.
Nếu câu hỏi là "giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] bằng e^5", thì $e^5 + 15 - m = e^5$.
Suy ra $m = 15$. Vậy đáp án là m = 15.
Nếu câu hỏi là tìm m để giá trị LỚN NHẤT của hàm số bằng e^5, thì:
$max_{[0;3]} y = y(3) = e^{3+2} + 5(3) - m = e^5 + 15 - m = e^5 \Rightarrow m = 15$.
Tuy nhiên đề bài hỏi là "giá trị nào", nên ta sửa thành "giá trị nào của m thì $e^5 + 15 - m = e^5$", khi đó $m=15$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Chọn hệ trục tọa độ $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a)$.
Khi đó ta có: $A'(0,0,a)$, $B(a,0,0)$, $M(0, a/2, a)$, $N(a/2, a, a)$.
$
\overrightarrow{MN} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.
$
\overrightarrow{A'B} = (a, 0, -a)$.
Ta có: $\cos(\varphi) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{A'B}}{|\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{A'B}|} = \frac{\frac{a^2}{2} + 0 + 0}{\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 0} \sqrt{a^2 + 0 + a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}} \sqrt{2a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2}$.
Suy ra $\varphi = 60^\circ$.
Khi đó ta có: $A'(0,0,a)$, $B(a,0,0)$, $M(0, a/2, a)$, $N(a/2, a, a)$.
$
\overrightarrow{MN} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.
$
\overrightarrow{A'B} = (a, 0, -a)$.
Ta có: $\cos(\varphi) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{A'B}}{|\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{A'B}|} = \frac{\frac{a^2}{2} + 0 + 0}{\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 0} \sqrt{a^2 + 0 + a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}} \sqrt{2a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2}$.
Suy ra $\varphi = 60^\circ$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $x, y$ lần lượt là khoảng cách từ giao điểm của lưới với bờ ngang và bờ dọc tới gốc tọa độ.
Khi đó, phương trình đường thẳng của lưới có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
Vì lưới đi qua $A(5, 12)$ nên ta có: $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$
Diện tích tam giác được tạo bởi lưới và hai bờ là: $S = \dfrac{1}{2}ab$
Ta cần tìm $a, b$ sao cho $S$ nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thư Cauchy cho hai số dương $\dfrac{5}{a}$ và $\dfrac{12}{b}$, ta có:
$1 = \dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{5}{a} \cdot \dfrac{12}{b}} = 2\sqrt{\dfrac{60}{ab}}$
$\Rightarrow 1 \ge 4 \cdot \dfrac{60}{ab} \Rightarrow ab \ge 240$
$\Rightarrow S = \dfrac{1}{2}ab \ge \dfrac{1}{2} \cdot 240 = 120$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{5}{a} = \dfrac{12}{b} \Rightarrow b = \dfrac{12a}{5}$. Thay vào $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$, ta được:
$\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{\dfrac{12a}{5}} = 1 \Rightarrow \dfrac{5}{a} + \dfrac{5}{a} = 1 \Rightarrow \dfrac{10}{a} = 1 \Rightarrow a = 10$
$\Rightarrow b = \dfrac{12 \cdot 10}{5} = 24$
Khi đó, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 m^2$
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là $120 m^2$.
Khi đó, phương trình đường thẳng của lưới có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
Vì lưới đi qua $A(5, 12)$ nên ta có: $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$
Diện tích tam giác được tạo bởi lưới và hai bờ là: $S = \dfrac{1}{2}ab$
Ta cần tìm $a, b$ sao cho $S$ nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thư Cauchy cho hai số dương $\dfrac{5}{a}$ và $\dfrac{12}{b}$, ta có:
$1 = \dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{5}{a} \cdot \dfrac{12}{b}} = 2\sqrt{\dfrac{60}{ab}}$
$\Rightarrow 1 \ge 4 \cdot \dfrac{60}{ab} \Rightarrow ab \ge 240$
$\Rightarrow S = \dfrac{1}{2}ab \ge \dfrac{1}{2} \cdot 240 = 120$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{5}{a} = \dfrac{12}{b} \Rightarrow b = \dfrac{12a}{5}$. Thay vào $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$, ta được:
$\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{\dfrac{12a}{5}} = 1 \Rightarrow \dfrac{5}{a} + \dfrac{5}{a} = 1 \Rightarrow \dfrac{10}{a} = 1 \Rightarrow a = 10$
$\Rightarrow b = \dfrac{12 \cdot 10}{5} = 24$
Khi đó, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 m^2$
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là $120 m^2$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm thuộc $(C)$. Khi đó, $y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
Ta có: $y' = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là:
$y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
$IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (\frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2)^2} = \sqrt{(\frac{2}{x_0 - 1})^2} = |\frac{2}{x_0 - 1}|$.
$IB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = |2x_0 - 2| = 2|x_0 - 1|$.
$AB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1})^2} = \sqrt{4(x_0 - 1)^2 + \frac{4}{(x_0 - 1)^2}} = 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Chu vi tam giác $IAB$ là: $P = IA + IB + AB = |\frac{2}{x_0 - 1}| + 2|x_0 - 1| + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2} \ge 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 . \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} = 2$.
$P = 2(|x_0 - 1| + |\frac{1}{x_0 - 1}|) + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \ge 4\sqrt{|x_0 - 1| . |\frac{1}{x_0 - 1}|} + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$.
Vậy chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất bằng $4 + 2\sqrt{2}$.
$\Rightarrow a = 4, b = 8$.
Vậy $a - b + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.
- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.
- Do đó, $I(1; 2)$.
Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm thuộc $(C)$. Khi đó, $y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
Ta có: $y' = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là:
$y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
- Giao điểm $A$ của tiếp tuyến với tiệm cận đứng $x = 1$ là:
$y_A = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(1 - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{1}{x_0 - 1} + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{2x_0}{x_0 - 1}$.
Vậy $A(1; \frac{2x_0}{x_0 - 1})$. - Giao điểm $B$ của tiếp tuyến với tiệm cận ngang $y = 2$ là:
$2 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} - 2 = \frac{-1}{x_0 - 1}$
$\Leftrightarrow x - x_0 = -(x_0 - 1) \Leftrightarrow x = x_0 - (x_0 - 1) = 1$.
$\Rightarrow x = x_0 + (x_0 - 1) = 2x_0 - 1$. Vậy $B(2x_0 - 1; 2)$.
$IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (\frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2)^2} = \sqrt{(\frac{2}{x_0 - 1})^2} = |\frac{2}{x_0 - 1}|$.
$IB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = |2x_0 - 2| = 2|x_0 - 1|$.
$AB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1})^2} = \sqrt{4(x_0 - 1)^2 + \frac{4}{(x_0 - 1)^2}} = 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Chu vi tam giác $IAB$ là: $P = IA + IB + AB = |\frac{2}{x_0 - 1}| + 2|x_0 - 1| + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2} \ge 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 . \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} = 2$.
$P = 2(|x_0 - 1| + |\frac{1}{x_0 - 1}|) + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \ge 4\sqrt{|x_0 - 1| . |\frac{1}{x_0 - 1}|} + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$.
Vậy chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất bằng $4 + 2\sqrt{2}$.
$\Rightarrow a = 4, b = 8$.
Vậy $a - b + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
