Câu hỏi:

Ta có $\vec{u} \perp \vec{v}$ nên $\vec{u} . \vec{v} = 0$.

Suy ra $(\frac{2}{5}\vec{a} - 3\vec{b}).(\vec{a} + \vec{b}) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{5}\vec{a}^2 + \frac{2}{5}\vec{a}.\vec{b} - 3\vec{a}.\vec{b} - 3\vec{b}^2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{5}|\vec{a}|^2 - \frac{13}{5}\vec{a}.\vec{b} - 3|\vec{b}|^2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{5} - \frac{13}{5}|\vec{a}||\vec{b}|cos\alpha - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{5} - \frac{13}{5}cos\alpha - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{13}{5}cos\alpha = \frac{2}{5} - 3 = -\frac{13}{5}$

$\Leftrightarrow cos\alpha = -1$

$\Leftrightarrow \alpha = 180^0$.

Vậy góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $180^0$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BC}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = a$.

Góc giữa hai vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $180^o - 60^o = 120^o$.

Do đó, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = a.a.cos(120^o) = a^2.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$.

Gọi $a$ là cạnh của tam giác đều. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ta có $R = 4$, suy ra $a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm.

Diện tích tam giác đều là $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ cm$^2$.

Ta có tam giác ABC đều cạnh a.

• Đáp án A: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(A) = a.a.cos(60^\circ) = a^2.\frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Vậy A đúng.
  
• Đáp án B: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{CB}|.cos(120^\circ) = a.a.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$. Vậy B đúng.
  
• Đáp án D: Gọi M là trung điểm BC. Suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì G là trọng tâm nên $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AG}|.cos(\widehat{BAG}) = a.\frac{a\sqrt{3}}{3}.cos(30^\circ) = a.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2}$. Vậy D đúng.
  
• Vậy C sai. Tính $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}$ như sau:
  Gọi M là trung điểm BC. $GA = GB = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Góc giữa GA và GB là 120 độ.
  $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} = |\overrightarrow{GA}|.|\overrightarrow{GB}|.cos(120^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{6}$