Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính tích vô hướng

\vec{A B} . \vec{B C} .

\vec{A B} . \vec{B C} = a^{2};

\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2};

\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2}}{2};

\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2}}{2};

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BC}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$
Vì tam giác ABC đều cạnh a nên $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = a$.
Góc giữa hai vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $180^o - 60^o = 120^o$.
Do đó, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = a.a.cos(120^o) = a^2.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Câu hỏi trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ (Có phân tích chi tiết)

18/09/2025

0 lượt thi

0 / 30

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 25:

Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính hiệu $\vec{C B}$ - $\vec{A B}$

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$.

Câu 26:

Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi $a$ là cạnh của tam giác đều. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ta có $R = 4$, suy ra $a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm.

Diện tích tam giác đều là $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ cm$^2$.

Câu 27:

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có tam giác ABC đều cạnh a.

Đáp án A: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(A) = a.a.cos(60^\circ) = a^2.\frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Vậy A đúng.
Đáp án B: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{CB}|.cos(120^\circ) = a.a.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$. Vậy B đúng.
Đáp án D: Gọi M là trung điểm BC. Suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì G là trọng tâm nên $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AG}|.cos(\widehat{BAG}) = a.\frac{a\sqrt{3}}{3}.cos(30^\circ) = a.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2}$. Vậy D đúng.
Vậy C sai. Tính $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}$ như sau:
Gọi M là trung điểm BC. $GA = GB = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Góc giữa GA và GB là 120 độ.
$\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} = |\overrightarrow{GA}|.|\overrightarrow{GB}|.cos(120^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{6}$

Câu 28:

Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c; AC = b. Tính

\vec{B A} . \vec{B C} .

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = BA.BC.cos\widehat{ABC}$

Trong tam giác vuông ABC, ta có: $cos\widehat{ABC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Do đó: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = c.\sqrt{b^2+c^2}.\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}} = c^2$

Câu 29:

Tam giác ABC có $B C = 2 \sqrt{3}, A C = 2 A B$ và độ dài đường cao AH = 2. Tính độ dài cạnh AB

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi $AB = x$. Theo đề bài, $AC = 2x$.\nTa có công thức tính diện tích tam giác $S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.\nÁp dụng công thức Heron, gọi $p$ là nửa chu vi tam giác, ta có $p = \frac{x + 2x + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{3x + 2\sqrt{3}}{2}$.\nDiện tích tam giác $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{3x + 2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{x + 2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-x + 2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3x - 2\sqrt{3}}{2}}$\n$S^2 = \frac{1}{16} (9x^2 - 12)(12 - x^2)$\n$(2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{16} (9x^2 - 12)(12 - x^2)$\n$12 = \frac{1}{16} (108x^2 - 9x^4 - 144 + 12x^2)$\n$192 = 120x^2 - 9x^4 - 144$\n$9x^4 - 120x^2 + 336 = 0$\n$3x^4 - 40x^2 + 112 = 0$\nĐặt $t = x^2$ ($t > 0$), ta có $3t^2 - 40t + 112 = 0$\n$\Delta' = 20^2 - 3 \cdot 112 = 400 - 336 = 64$\n$t_1 = \frac{20 + 8}{3} = \frac{28}{3} \Rightarrow x_1 = \sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$\n$t_2 = \frac{20 - 8}{3} = 4 \Rightarrow x_2 = 2$\nVậy $AB = 2$ hoặc $AB = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

Câu 30:

Cho tam giác ABC có $B C = a, C A = b, A B = c .$ Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính $\vec{A M} . \vec{B C} .$

Lời giải: