Câu hỏi:

Ta có $\widehat{ABC} = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$.

Do đó tam giác $ABC$ cân tại $A$, suy ra $AB = AC = 4$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin{\widehat{BAC}} = \dfrac{1}{2}.4.4.\sin{30^\circ} = \dfrac{1}{2}.16.\dfrac{1}{2} = 4$.

Ta có các vectơ sau:

• $\overrightarrow{AB}$


• $\overrightarrow{AC}$


• $\overrightarrow{BA}$


• $\overrightarrow{BC}$


• $\overrightarrow{CA}$


• $\overrightarrow{CB}$

Vậy có tổng cộng 6 vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C.

Đáp án: B

Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác là:

• $\overrightarrow{OC}$


• $\overrightarrow{CO}$


• $\overrightarrow{FA}$


• $\overrightarrow{AF}$


• $\overrightarrow{BE}$


• $\overrightarrow{EB}$

Vậy có tất cả 6 vectơ thỏa mãn.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(C)$
$(\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + BC^2 - 2 * \sqrt{3} * BC * cos(45)$
$2 = 3 + BC^2 - 2 * \sqrt{3} * BC * (\sqrt{2}/2)$
$BC^2 - \sqrt{6}BC + 1 = 0$
Giải phương trình bậc hai này, ta có:
$\Delta = (-\sqrt{6})^2 - 4 * 1 * 1 = 6 - 4 = 2$
$BC_{1,2} = (\sqrt{6} \pm \sqrt{2})/2$
Vì $BC$ là độ dài cạnh của tam giác, ta cần kiểm tra xem cả hai nghiệm có thỏa mãn không.
Ta có $BC = (\sqrt{6} + \sqrt{2})/2 \approx 1.93$ và $BC = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/2 \approx 0.52$.
Theo đề bài, góc C = 45 độ. Trường hợp $BC = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/2$ bị loại.
Vậy $BC = (\sqrt{6} + \sqrt{2})/2$.