Câu hỏi:

Gọi $AB = x$. Theo đề bài, $AC = 2x$.\nTa có công thức tính diện tích tam giác $S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.\nÁp dụng công thức Heron, gọi $p$ là nửa chu vi tam giác, ta có $p = \frac{x + 2x + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{3x + 2\sqrt{3}}{2}$.\nDiện tích tam giác $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{3x + 2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{x + 2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-x + 2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3x - 2\sqrt{3}}{2}}$\n$S^2 = \frac{1}{16} (9x^2 - 12)(12 - x^2)$\n$(2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{16} (9x^2 - 12)(12 - x^2)$\n$12 = \frac{1}{16} (108x^2 - 9x^4 - 144 + 12x^2)$\n$192 = 120x^2 - 9x^4 - 144$\n$9x^4 - 120x^2 + 336 = 0$\n$3x^4 - 40x^2 + 112 = 0$\nĐặt $t = x^2$ ($t > 0$), ta có $3t^2 - 40t + 112 = 0$\n$\Delta' = 20^2 - 3 \cdot 112 = 400 - 336 = 64$\n$t_1 = \frac{20 + 8}{3} = \frac{28}{3} \Rightarrow x_1 = \sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$\n$t_2 = \frac{20 - 8}{3} = 4 \Rightarrow x_2 = 2$\nVậy $AB = 2$ hoặc $AB = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.