Câu hỏi:

– Ta có: $\overrightarrow{B'B} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D}$. Do đó, ý a) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD'} \neq \overrightarrow{BD}$. Vậy ý b) sai.

– Ta có: $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{C'A} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C'A} = \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C'C}$.

Do đó, $|\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{C'A}| = |\overrightarrow{CC'}| = CC' = a$. Vậy ý c) sai.

– 

Vì AC' là đường chéo của hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng $a$ nên $AC' = a\sqrt{3}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

Suy ra $MN^2 = (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD})^2$

$= \overrightarrow{AB}^2 + \frac{1}{4}\overrightarrow{BB'}^2 + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BB'} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} \cdot \overrightarrow{AD}$

$= a^2 + \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}a^2 + 0 - 0 - 0 = \frac{3}{2}a^2$.

Do đó, $|\overrightarrow{MN}|^2 = MN^2 = \frac{3}{2}a^2$, suy ra $|\overrightarrow{MN}| = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.

Khi đó, $\overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD})$

$= \overrightarrow{AB}^2 + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{BB'}$

$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AD}$

$= AB^2 - \frac{1}{2}AD^2 + \frac{1}{2}AA' \cdot BB'$

$= a^2 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}a^2 = a^2$.

Vậy $\cos(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{AC'}) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC'}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{AC'}|} = \frac{a^2}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$. Do đó, ý d) đúng.

Xét hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a \ne 0$.

Ta có $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.

Để hàm số có cực trị thì $y' = 0$ phải có nghiệm phân biệt.

Điều kiện để $y' = 0$ có nghiệm phân biệt là $\Delta' > 0$.

Ta có $\Delta' = b^2 - 3ac > 0$ (theo giả thiết).

Vậy $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, suy ra hàm số có hai điểm cực trị.

Với mọi $x \in [2; 5]$, ta có: $f'(x) = \frac{m}{2\sqrt{x-1}}$

Ta thấy dấu của đạo hàm $f'(x)$ phụ thuộc vào dấu của tham số $m$.

Với mọi $m \neq 0$ thì $f(x)$ đơn điệu trên $[2; 5]$.

Suy ra $\min_{[2; 5]}f(x) + \max_{[2; 5]}f(x) = f(2) + f(5) = m + 2m = 3m$.

Theo bài ra, ta có: $m^2 - 10 = 3m \Leftrightarrow m^2 - 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow m = -2$ hoặc $m = 5$.

Vậy $m_1 + m_2 = 3$.

Đáp số: 3.

Ta có:

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} } \right) = \overrightarrow 0 $

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow 0 $

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow 0 $

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow 0 $

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( { - \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \overrightarrow 0 $

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( { \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \overrightarrow 0 $

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} = k\left( { \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'A} } \right)$

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} $

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {AA'} = - (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} )= - (\overrightarrow {A'B})$

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} = k(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {AA'}) $

Khi $k = -1: \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} = - (\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {AA'}) $

$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'}) = \overrightarrow {A'B}$

Do đó ta có $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + (\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} ) = \overrightarrow 0 $

Vậy, chọn $k = 1$

1. Đặt biến:

Gọi D là điểm trên bờ đối diện mà người đàn ông chèo thuyền đến, với C là điểm đối diện trực tiếp với A qua sông. Đặt khoảng cách từ C đến D là $x$ (km). Khi đó, quãng đường chạy bộ từ D đến B là $8 - x$ (km).

2. Tính quãng đường chèo thuyền:

Chiều rộng sông là $3$ km ($AC = 3$ km).

Theo định lý Pythagore, quãng đường chèo thuyền AD là $\sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + x^2} = \sqrt{9+ x^2}$ (km).

3. Tính thời gian di chuyển:

*   Thời gian chèo thuyền từ A đến D là $t_{chèo} = \dfrac{\text{quãng đường chèo}}{\text{tốc độ chèo}} = \dfrac{\sqrt{9+x^2}}{6}$ (giờ).

*   Thời gian chạy bộ từ D đến B là $t_{chạy} = \dfrac{\text{quãng đường chạy}}{\text{tốc độ chạy}} = \dfrac{8-x}{8}$ (giờ).

4. Xây dựng hàm tổng thời gian:

Tổng thời gian $T(x)$ để người đàn ông đến B là:

$T(x) = t_{chèo} + t_{chạy} = \dfrac{\sqrt{9+x^2}}{6} + \dfrac{8-x}{8}$, với $0 \le x \le 8$.

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm thời gian:

Để tìm thời gian ngắn nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của $T(x)$ và đặt nó bằng $0$.

$T'(x) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{9+x^2}} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{x}{6\sqrt{9+x^2}} - \dfrac{1}{8}$.

Đặt $T'(x) = 0: \dfrac{x}{6\sqrt{9+x^2}} - \dfrac{1}{8} = 0$

$\Rightarrow \dfrac{x}{6\sqrt{9+x^2}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow 8x = 6\sqrt{9 + x^2} \Rightarrow 4x = 3\sqrt{9 + x^2}$.

Bình phương hai vế:

$(4x)^2 = (3\sqrt{9 + x^2})^2 \Rightarrow 16x^2 = 9(9+ x^2) \Rightarrow 16x^2 = 81 + 9x^2 \Rightarrow 7x^2 = 81 \Rightarrow x^2 = \dfrac{81}{7}$.

$\Rightarrow x = \sqrt{\dfrac{81}{7}} = \dfrac{9}{\sqrt{7}}$.

6. Kiểm tra các giá trị tại biên và điểm cực trị:

Chúng ta cần tính $T(x)$ tại $x = 0$, $x = 8$ và $x = \dfrac{9}{\sqrt{7}}$.

*   $T(0) = \dfrac{\sqrt{9+0^2}}{6} + \dfrac{8-0}{8}  = 1.5$ (giờ).

*   $T(8) = \dfrac{\sqrt{9+8^2}}{6} + \dfrac{8-8}{8}  \approx 1.427$ (giờ).

*   $T\left(\dfrac{9}{\sqrt{7}}\right) = \dfrac{\sqrt{9+\left(\dfrac{9}{\sqrt{7}}\right)^2}}{6} + \dfrac{8-\dfrac{9}{\sqrt{7}}}{8} \approx 1.33 $ (giờ)

Thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là khoảng 1.33 giờ.