Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm của nó phải nhỏ hơn 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$.
A. $y = \frac{{x + 1}}{{2 - x}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \{2\}$, nên không xét trên $\mathbb{R}$.
B. $y = - {x^3} - 3x + 2024 \Rightarrow y' = -3x^2 - 3 = -3(x^2+1) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
C. $y = - {x^3} - 2{x^2} + x + 2024 \Rightarrow y' = -3x^2 - 4x + 1$. Phương trình $y' = 0$ có nghiệm, vậy y' không âm hoặc dương trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
D. $y = 2{x^2} - 3x + 2024 \Rightarrow y' = 4x - 3$. Phương trình $y' = 0$ có nghiệm $x = \frac{3}{4}$, vậy y' không âm hoặc dương trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
Xét hàm số $y = (x-3)^2e^x$ trên đoạn $[2;4]$.\nTa có $y' = 2(x-3)e^x + (x-3)^2e^x = e^x(x-3)(2 + x - 3) = e^x(x-3)(x-1)$.\n$y' = 0$ khi $x=3$ hoặc $x=1$.\nVì $x \in [2;4]$ nên ta chỉ xét $x=3$.\nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm tới hạn:\n
\n
$y(2) = (2-3)^2e^2 = e^2$
\n
$y(3) = (3-3)^2e^3 = 0$
\n
$y(4) = (4-3)^2e^4 = e^4$
\n
\nVậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ là $e^4$.
