Câu hỏi:

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} $ bằng

A. ${a^2}$.

B. $ - {a^2}$.

C. $\frac{1}{2}{a^2}$.

D. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\].

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = |\overrightarrow {AB}| \cdot |\overrightarrow {AC}| \cdot cos(°(\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC})) = a \cdot a \cdot cos(60°) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a^2$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ câu trắc nghiệm giữa HK1 Toán 12 - CD - Đề 1

15/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\] và $\left( {3;\, + \infty } \right)$

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là $3$

c) Hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $0$

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

Lời giải:

Đáp án đúng:

Phân tích từng đáp án:

a) Sai. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$. Đoạn $\left[ { - \infty ;1} \right]$ là sai.
b) Sai. Số điểm cực trị là 2 (x = -1 và x = 3).
c) Sai. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -\infty$.
d) Đúng. Vì hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -\infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

Câu 14:

Cho hàm số $y = {e^x} - x + 3$

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$

b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$

c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ là $\left( {0;4} \right)$

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

$y' = e^x - 1$

$y' = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$

$y' < 0 \Leftrightarrow e^x < 1 \Leftrightarrow x < 0$

$y' > 0 \Leftrightarrow e^x > 1 \Leftrightarrow x > 0$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có $x=0$, suy ra $y = e^0 - 0 + 3 = 1 + 3 = 4$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;4)$.
Vì $y(0) = 4 \ne 0$ nên đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

Câu 15:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$

a) Các vectơ bằng với vectơ $\overrightarrow {AD} $ là $\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {A'D'} $

b) Các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {DB} $ là \[\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {D'B'} \]

c) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {D'C'} $

d) $\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC'} $

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta xét từng đáp án:

a) $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{B'C'}$. Vậy a) đúng.
b) $\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{D'B'}$. Vậy vectơ đối của $\overrightarrow{DB}$ là $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B'D'}$, do đó b) sai.
c) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{D'C'}$. Vậy c) sai.
d) $\overrightarrow{BB'} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB'} $. Vì $\overrightarrow{AC} $ không cùng phương với $\overrightarrow{BB'}$ nên tổng của chúng khác $\overrightarrow{AC'}$. Vậy d) sai.

Vậy câu d) sai.

Câu 16:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,\,AC,\,AD$ đôi một vuông góc và $AB = AC = AD = 1$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $

b) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 1$

c) $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}$

d) $\left( {\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {BD} } \right) = 120^\circ $

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

Suy ra:
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(0 - 1 + 0 - 0) = -\frac{1}{2}$

Vậy đáp án C đúng

Câu 17:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Giả sử hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 5$ đạt cực đại tại $x = a$ và đạt cực tiểu tại $x = b$. Giá trị của biểu thức $M = 2a - 3b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:
* $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
* $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$

Lập bảng biến thiên, ta thấy:
* Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ (vậy $a = 1$)
* Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ (vậy $b = 3$)

Vậy $M = 2a - 3b = 2(1) - 3(3) = 2 - 9 = -7$.
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đạo hàm:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)$.
$f''(x) = 6x - 12$.
$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ nên $x=1$ là điểm cực đại, suy ra $a=1$.
$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu, suy ra $b=3$.
Vậy $M = 2a - 3b = 2(1) - 3(3) = 2 - 9 = -7$. Có lẽ có lỗi in ấn trong các đáp án.
Nếu câu hỏi là $M = |2a - 3b|$, thì đáp án là $|2(1) - 3(3)| = |-7| = 7$.
Nếu câu hỏi là $M = 3b - 2a$, thì đáp án là $3(3) - 2(1) = 9-2=7$. Không có đáp án nào đúng.
Giả sử đề yêu cầu tính $|a-b|$. Vậy thì $|1-3| = 2$. Cũng không có đáp án.
Nếu đề yêu cầu tính $2b-5$, thì $2(3)-5 = 1$.
Vậy đáp án là 1

Câu 18:

Cho hàm số $y = {e^{x + 2}} + 5x - m$ với $m$ là tham số thực. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {0;\,\,3} \right]$ bằng ${e^5}$?

Lời giải: