Câu hỏi:

Mệnh đề chứa biến là mệnh đề có chứa các biến mà tính đúng sai của mệnh đề phụ thuộc vào giá trị của biến đó.

• Đáp án A là một mệnh đề đúng.
• Đáp án B là một mệnh đề đúng.
• Đáp án C là một mệnh đề chứa biến x.
• Đáp án D là một mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\exists x \in A, P(x)$" là "$\forall x \in A, \overline{P(x)}$".

Mệnh đề $Q$: "$\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + n + 1 \vdots 7$" có nghĩa là "Có một số tự nhiên $n$ sao cho $n^2 + n + 1$ chia hết cho 7".

Vậy, mệnh đề phủ định của $Q$ là "$\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + n + 1 \,\,\,\,\not\vdots \, 7$" có nghĩa là "Với mọi số tự nhiên $n$, $n^2 + n + 1$ không chia hết cho 7".

Tinh $\sin \alpha$

Giá trị của $\sin \alpha$ được tính từ công thức lượng giác cơ bản $\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$.

$

\sin ^2 \alpha=1-\cos ^2 \alpha=1-\left(\frac{1}{3}\right)^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9} .

$

Do đó, $\sin \alpha= \pm \sqrt{\frac{8}{9}}= \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

Tính giá trị của biểu thức $P$

Biểu thức $P$ được tính bằng cách thay thế các giá trị đã biết vào.

Trường hợp 1: Nếu $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

$

P=\sin \alpha+\frac{1}{\cos \alpha}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}+3=\frac{2 \sqrt{2}+9}{3}

$

Trường hợp 2: Nếu $\sin \alpha=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

$

P=\sin \alpha+\frac{1}{\cos \alpha}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\frac{1}{3}}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}+3=\frac{-2 \sqrt{2}+9}{3} .

$

Kết quả cuối cùng

Giá trị của biểu thức $P$ là $\frac{9+2 \sqrt{2}}{3}$ hoặc $\frac{9-2 \sqrt{2}}{3}$.

Vì $\alpha + \beta = 180^\circ$ nên $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Ta có:

$\cot \beta = \cot (180^\circ - \alpha) = - \cot \alpha \Rightarrow \cot \alpha + \cot \beta = 0$.

$\tan \beta = \tan (180^\circ - \alpha) = - \tan \alpha \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta = 0$.

$\sin \beta = \sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \alpha \neq 0$ (vì $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$).

$\cos \beta = \cos (180^\circ - \alpha) = - \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha + \cos \beta = 0$.

Vậy khẳng định sai là $\sin \alpha + \sin \beta =0$.

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng $\left(d_1\right)$ có phương trình là $2 x-y=1$; đường thẳng $\left(d_2\right)$ có phương trình $x+y=2$ vò đường thẳng $\left(d_3\right)$ có phương trình là $y=-2$.

Lại thấy điểm có tọa độ $(1 ;-1)$ thuộc miền biểu diễn nghiệm và thay vào $\left\{\begin{array}{l}2 x-y<1 \\ x+y \geq 2 \\ y \geq-2\end{array}\right.$ ta được:

$

\left\{\begin{array}{l}

2.1-(-1)<1 \\

1+(-1) \geq 2 \\

-1 \geq-2

\end{array}\right.

$

ta thấy $1+(-1) \geq 2$ (vô lí), do đó $\left\{\begin{array}{l}2 x-y<1 \\ x+y \geq 2 \\ y \geq-2\end{array}\right.$ không thỏa mãn.

Vậy phần không tô màu trong hình biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x-y \geq 1 \\ x+y \leq 2 \\ y \geq-2\end{array}\right.$