Câu hỏi:

Gọi x , y tương ứng là khối lượng bánh quy và số ly trà sữa tiêu thụ trong một tuần của một người, \(x \ge 0\) , \(y \ge 0\) .

Lượng đường dung nạp từ số lượng bánh quy và trà sữa trên là: \(F\left( {x;y} \right) = 150x + 55y\) .

Để đảm bảo sức khỏe theo tiêu chuẩn, ta cần:

    \(F\left( {x;y} \right) \le 50.7 = 350\)

    \( \Leftrightarrow 150x + 55y \le 350\)

Một người ăn uống trong một tuần \(0,4\) kilogam bánh quy và 5 ly trà sữa thì \(F\left( {0,4;5} \right) = 335 < 350\) .

Do đó không vượt qua ngưỡng tiêu thụ đường tiêu chuẩn. 

\(\widehat {ACB} = {120^ \circ }\) ; \(\widehat {ABC} = {30^ \circ } \Rightarrow \widehat {BAC} = {30^ \circ }\) .

Nên \({\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(C \Rightarrow AC = BC = 100\)

Trong tam giác vuông AHC :

\({\rm{sin}}\widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

\( \Leftrightarrow AH = AC.{\rm{sin}}{30^ \circ } = 50\) m.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC kể cả biên (phần tô màu) với \(A\left( { - 2;6} \right),\,C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right),\,B\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right)\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) chỉ đạt được tại các điểm A ; B hoặc C .

Tính và so sánh: \(F\left( A \right) = 8;\,F\left( B \right) =  - 2;\,F\left( C \right) =  - 2\) .

Vậy \({\rm{min}}F =  - 2\) khi \(x = \frac{4}{3},\,y =  - \frac{2}{3}\) .

Gọi x , y lần lượt là số giờ nên cho phân xưởng A và B .

Ta có bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của \(F = 600\,000x + 1\,000\,000y\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{250x + 250y \ge 5\,000\,\left( 1 \right)}\\{}&{100x + 200y \ge 3\,000\,\left( 2 \right)}\\{}&{x \ge 0}\\{}&{y \ge 0\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Miền ràng buộc D của bài toán được biểu diễn bằng cách vẽ đồ thị bất phương trình \(\left( 1 \right)\) , \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) tạo thành miền kín rồi lấy các điểm giao nhau làm tọa độ điểm đỉnh. Đỉnh nào làm cho F nhỏ nhất thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Qua vẽ hình ta tính được phương án tối ưu là khi \(x = 10,\,y = 10\)

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đặt hàng với chi phí thấp nhất công ty cần cho phân xưởng A và B hoạt động 10 giờ.

Chí phí thấp nhất là 16 triệu đồng.

Vẽ đường thẳng \(d:\,2x + y = 2\) .

Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(2x + y \ge 2\) ta được \(0 \ge 2\) nên điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm D của bất phương trình \(2x + y \ge 2\) .

Khi đó miền nghiệm D của bất phương trình \(2x + y \ge 2\) là miền không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) có bờ d , kể cả đường thẳng d .

Vẽ hình vuông ABCO cạnh bằng a nằm trong góc phần tư thứ nhất trên cùng hệ trục tọa độ với miền nghiệm D .

Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích phần chung giữa miền nghiệm D và hình vuông là:

\(S = {S_{ABCO}} - {S_{OEF}} = O{A^2} - \frac{{12.}}{O}E.OF = {a^2} - \frac{{12.1.2}}{ = }{a^2} - 1\) .

Mà \(S = 2\,022\) nên \({a^2} - 1 = 2\,022\)

    \( \Leftrightarrow {a^2} = 2\,023\)

\( \Rightarrow a = \sqrt {2023} \) .