Câu hỏi:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC kể cả biên (phần tô màu) với \(A\left( { - 2;6} \right),\,C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right),\,B\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right)\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) chỉ đạt được tại các điểm A ; B hoặc C .

Tính và so sánh: \(F\left( A \right) = 8;\,F\left( B \right) =  - 2;\,F\left( C \right) =  - 2\) .

Vậy \({\rm{min}}F =  - 2\) khi \(x = \frac{4}{3},\,y =  - \frac{2}{3}\) .

Gọi x , y lần lượt là số giờ nên cho phân xưởng A và B .

Ta có bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của \(F = 600\,000x + 1\,000\,000y\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{250x + 250y \ge 5\,000\,\left( 1 \right)}\\{}&{100x + 200y \ge 3\,000\,\left( 2 \right)}\\{}&{x \ge 0}\\{}&{y \ge 0\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Miền ràng buộc D của bài toán được biểu diễn bằng cách vẽ đồ thị bất phương trình \(\left( 1 \right)\) , \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) tạo thành miền kín rồi lấy các điểm giao nhau làm tọa độ điểm đỉnh. Đỉnh nào làm cho F nhỏ nhất thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Qua vẽ hình ta tính được phương án tối ưu là khi \(x = 10,\,y = 10\)

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đặt hàng với chi phí thấp nhất công ty cần cho phân xưởng A và B hoạt động 10 giờ.

Chí phí thấp nhất là 16 triệu đồng.

Vẽ đường thẳng \(d:\,2x + y = 2\) .

Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(2x + y \ge 2\) ta được \(0 \ge 2\) nên điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm D của bất phương trình \(2x + y \ge 2\) .

Khi đó miền nghiệm D của bất phương trình \(2x + y \ge 2\) là miền không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) có bờ d , kể cả đường thẳng d .

Vẽ hình vuông ABCO cạnh bằng a nằm trong góc phần tư thứ nhất trên cùng hệ trục tọa độ với miền nghiệm D .

Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích phần chung giữa miền nghiệm D và hình vuông là:

\(S = {S_{ABCO}} - {S_{OEF}} = O{A^2} - \frac{{12.}}{O}E.OF = {a^2} - \frac{{12.1.2}}{ = }{a^2} - 1\) .

Mà \(S = 2\,022\) nên \({a^2} - 1 = 2\,022\)

    \( \Leftrightarrow {a^2} = 2\,023\)

\( \Rightarrow a = \sqrt {2023} \) . 

Để \(A,\,B\) là các tập hợp khác rỗng thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 < 2m + 7}\\{}&{m - 12 < 21}\end{array}} \right.\)

             \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m >  - 25}\\{}&{m < 33}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow  - 25 < m < 33\) .

⚡TH1: \(2m + 7 \le m - 12 \Leftrightarrow m \le  - 19\) .

Ta có \(A \setminus B = \left( {m - 18\,;\,2m + 7} \right)\) .

\(A \setminus B \subset C \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 \ge  - 15}\\{}&{2m + 7 \le 15}\end{array}} \right.\)

              \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m \ge 3}\\{}&{m \le 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 3 \le m \le 4\) (Loại).

⚡TH2: \(m - 12 < 2m + 7 \le 21 \Leftrightarrow  - 19 < m \le 7\) .

Ta có \(A \setminus B = \left( {m - 18\,;\,m - 12} \right]\) .

\(A \setminus B \subset C \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 \ge  - 15}\\{}&{m - 12 < 15}\end{array}} \right.\)

                \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m \ge 3}\\{}&{m < 27}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 3 \le m < 27\) .

Kết hợp điều kiện suy ra \(3 \le m \le 7\) .

⚡TH3: \(2m + 7 > 21 \Leftrightarrow m > 7\) .

Ta có \(A \setminus B = \left( {m - 18\,;\,m - 12} \right] \cup \left[ {21;\,2m + 7} \right)\) .

\(A \setminus B \subset C \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 \ge  - 15}\\{}&{2m + 7 \le 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m \ge 3}\\{}&{m \le 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 4\) (Loại).

Với \(3 \le m \le 7\) thì \(A \setminus B \subset C\) nên có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5 000 đồng, một tờ 10 000 đồng, một tờ 20 000 đồng lần lượt là: x , y , z (học sinh).

Số học sinh ủng hộ một tờ 5 000 đồng và một tờ 10 000 đồng là: a .

Số học sinh ủng hộ một tờ 10 000 đồng và một tờ 20 000 đồng là: b .

Số học sinh ủng hộ một tờ 20 000 đồng và một tờ 5 000 đồng là: c .

với \(x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c \in \mathbb{N}\) .

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x = y + z\,\left( 1 \right)}\\{}&{y + b = 2\left( {z + b} \right)\,\left( 2 \right)}\\{}&{x = a + c + 1\,\left( 3 \right)}\\{}&{x + y + z + a + b + c = 25\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\) ; với \(x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}\)

Từ (2): \(y - 2z = b \ge 0\) ↔︎ \(y \ge 2z\) (*)

Thế (1), (2), (3) vào (4) và khử x,a,b,c , ta được:

\(4y + z = 26 \Leftrightarrow y = \frac{{26 - z}}{4} \le \frac{{26}}{4}\) .

Từ điều kiện (*): \(y = \frac{{26 - z}}{4} = \frac{{52 - 2z}}{8} \ge \frac{{52 - y}}{8}\)

\( \Leftrightarrow 9y \ge 52\)

\( \Leftrightarrow y \ge \frac{{52}}{9}\) .

Do đó: \(\frac{{52}}{9} \le y \le \frac{{26}}{4}\) và \(y \in \mathbb{N}\) .

Suy ra: \(y = 6\) ; \(z = 2\) ; \(x = 8\) .

Vậy có 6 học sinh lớp 2A chỉ ủng hộ một tờ 10 000 đồng.