Câu hỏi:

Gọi $A(a;0)$ và $B(0;b)$. Ta có $AB = 1$ nên $AB^2 = 1$.
$AB^2 = (a-0)^2 + (0-b)^2 = a^2 + b^2 = 1$.
Ta có góc $\widehat{xOy} = 30^\circ$. Sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác OAB, ta có:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2.OA.OB.cos(\widehat{xOy})$
$1 = a^2 + b^2 - 2ab.cos(30^\circ)$
$1 = a^2 + b^2 - 2ab.\frac{\sqrt{3}}{2}$
$1 = a^2 + b^2 - ab\sqrt{3}$
Mặt khác, ta có $OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2 = 1$ nên $a^2 = 1 - b^2$.
$1 = 1 - ab\sqrt{3}$
$ab\sqrt{3} = 0$, điều này không đúng vì A và B là hai điểm di động.
Ta có $\widehat{AOB} > 0$ và $AB = 1$.
Áp dụng định lý sin:
$\frac{AB}{sin(\widehat{AOB})} = \frac{OB}{sin(\widehat{OAB})} = \frac{OA}{sin(\widehat{OBA})}$
$\frac{1}{sin(30^\circ)} = \frac{OB}{sin(\widehat{OAB})}$
$OB = \frac{sin(\widehat{OAB})}{sin(30^\circ)} = 2sin(\widehat{OAB})$
$OB$ lớn nhất khi $sin(\widehat{OAB}) = 1$, tức là $\widehat{OAB} = 90^\circ$.
Khi đó $OB = 2$.