Câu hỏi:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (5n + 3) = +\infty $
Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{5n + 3}} = 0$.

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2}(4 + \frac{1}{{{n^2}}})} - \sqrt {n(1 + \frac{2}{n})} }}{{n(2 - \frac{3}{n})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt n \sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{n(2 - \frac{3}{n})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n(\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{\sqrt n }})}}{{n(2 - \frac{3}{n})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{\sqrt n }}}}{{2 - \frac{3}{n}}} = \frac{{\sqrt 4 - 0}}{2} = 1$.
Vậy đáp án là $1$.

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2{(1)^2} - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.

Ta có:

• Khi $x \to {1^ + }$, thì $x > 1$ và $x$ tiến gần đến 1.


• Do đó, $4x - 3$ tiến gần đến $4(1) - 3 = 1 > 0$.


• Và $x - 1$ tiến gần đến $0$ và $x - 1 > 0$.


• Vậy, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = +\infty $.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1 - {{(x - 2)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1 + \frac{2}{x}}} = \frac{3}{{ - 1 - 1}} = - \frac{3}{2}$. Vậy A đúng.


• Đáp án B: Khi $x \to -1^-$, $x+1 \to 0^-$ và $3x+2 \to -1$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty $. Vậy B sai.


• Đáp án C: Khi $x \to + \infty $, $\sqrt {{x^2} - x + 1} \approx x$ và $x-2 \approx x$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = + \infty $. Vậy C đúng.


• Đáp án D: Khi $x \to -1^+$, $x+1 \to 0^+$ và $3x+2 \to -1$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty $. Vậy D đúng.

Vậy mệnh đề sai là D.