Câu hỏi:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{5n + 3}}$ bằng

A. 0.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $ + \infty $.

D. $\frac{1}{5}$.

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (5n + 3) = +\infty $
Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{5n + 3}} = 0$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi kiểm tra cuối học kì 1 môn Toán lớp 11 - KNTT - Đề 1

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 39

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2}(4 + \frac{1}{{{n^2}}})} - \sqrt {n(1 + \frac{2}{n})} }}{{n(2 - \frac{3}{n})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt n \sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{n(2 - \frac{3}{n})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n(\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{\sqrt n }})}}{{n(2 - \frac{3}{n})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{\sqrt n }}}}{{2 - \frac{3}{n}}} = \frac{{\sqrt 4 - 0}}{2} = 1$.
Vậy đáp án là $1$.

Câu 18:

Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2{(1)^2} - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.

Câu 19:

Tìm giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:

Khi $x \to {1^ + }$, thì $x > 1$ và $x$ tiến gần đến 1.

Do đó, $4x - 3$ tiến gần đến $4(1) - 3 = 1 > 0$.

Và $x - 1$ tiến gần đến $0$ và $x - 1 > 0$.

Vậy, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = +\infty $.

Câu 20:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1 - {{(x - 2)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1 + \frac{2}{x}}} = \frac{3}{{ - 1 - 1}} = - \frac{3}{2}$. Vậy A đúng.

Đáp án B: Khi $x \to -1^-$, $x+1 \to 0^-$ và $3x+2 \to -1$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty $. Vậy B sai.

Đáp án C: Khi $x \to + \infty $, $\sqrt {{x^2} - x + 1} \approx x$ và $x-2 \approx x$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = + \infty $. Vậy C đúng.

Đáp án D: Khi $x \to -1^+$, $x+1 \to 0^+$ và $3x+2 \to -1$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty $. Vậy D đúng.

Vậy mệnh đề sai là D.

Câu 21:

Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 1$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số liên tục tại $x=1$, ta cần kiểm tra điều kiện $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$.

Xét đáp án B: $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x-1}$ với $x \neq -1$. Khi $x \to 1$, $f(x)$ không xác định, vậy hàm số này không liên tục tại $x=1$.

Tuy nhiên, nếu ta định nghĩa lại $f(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x-2}{x-1}$, giới hạn này không tồn tại. Nhưng nếu ta xét $f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$, và ta bỏ $(x+1)$ khi $x \neq -1$. Lúc đó, nếu ta triệt tiêu $(x+1)$ và xét giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{x-2}{x-1}$, giới hạn này không tồn tại (tiến tới vô cùng). Vậy hàm số này không liên tục tại $x=1$.

Tuy nhiên, nếu ta xét hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1}, & x \neq 1, -1 \\ c, & x = 1 \end{cases}$. Ta có $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-2}{x-1}$. Giới hạn này không tồn tại. Vậy $f(x)$ không liên tục tại $x=1$.

Xét đáp án C: $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x}$. Hàm số này không xác định tại $x=0$, do đó không liên tục tại $x=1$ vì $x=1$ thuộc tập xác định. $f(1) = 3$. $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$. Vậy hàm số này liên tục tại $x=1$ nếu nó xác định tại $x=1$. Tuy nhiên đề bài yêu cầu hàm số liên tục tại $x=1$. Vậy đáp án này không đúng.

Xét đáp án D: $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. Hàm số này không xác định tại $x=1$. Vậy nó không liên tục tại $x=1$.

Đáp án A không phải là hàm số.

Hàm số $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1}$ có thể liên tục tại $x=1$ nếu ta định nghĩa lại giá trị của hàm số tại $x=1$. Tuy nhiên, với định nghĩa hiện tại, nó không liên tục tại $x=1$ do không xác định tại $x=1$.

Câu 22:

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$

Lời giải: