Để tìm giá trị nhỏ nhất của $F = y - x$ với các điều kiện ràng buộc, ta cần xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình và tìm các điểm cực trị của miền nghiệm đó.
Sau đó, tính giá trị của $F$ tại các điểm cực trị này và chọn giá trị nhỏ nhất.
Ta có hệ bất phương trình:
$\begin{cases} -2x + y \leq -2 \\ x - 2y \leq 2 \\ x + y \leq 5 \\ x \geq 0 \end{cases}$
Các điểm cực trị của miền nghiệm là giao điểm của các đường thẳng:
- Giao điểm của $-2x + y = -2$ và $x - 2y = 2$ là $(\frac{2}{3}; -\frac{2}{3})$.
- Giao điểm của $x = 0$ và $-2x + y = -2$ là $(0; -2)$.
- Giao điểm của $x = 0$ và $x - 2y = 2$ là $(0, -1)$.
- Giao điểm của $x - 2y = 2$ và $x + y = 5$ là $(\frac{12}{3} ; \frac{3}{3}) = (4,1)$.
- Giao điểm của $-2x + y = -2$ và $x+y = 5$ là $(\frac{7}{3}, \frac{8}{3})$.
- Giao điểm của $x = 0$ và $x + y = 5$ là $(0; 5)$.
Tính giá trị của $F = y - x$ tại các điểm này:
- $F(\frac{2}{3}; -\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$
- $F(0; -2) = -2 - 0 = -2$
- $F(4, 1) = 1 - 4 = -3$
- $F(\frac{7}{3}, \frac{8}{3}) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3}$
- $F(0; 5) = 5$
Tuy nhiên, điểm $(0, -1)$ không thỏa mãn $-2x + y \leq -2$, vì $-2(0) + (-1) = -1 > -2$.
So sánh các giá trị của $F$, ta thấy giá trị nhỏ nhất là $F = -3$ tại điểm $(4,1)$.
Tuy nhiên, $\left(\frac{2}{3}; -\frac{2}{3}\right)$ là điểm mà biểu thức $F$ nhỏ nhất. Vì các điểm $(0, -2)$ và $(4,1)$ và $(\frac{7}{3}, \frac{8}{3})$ và $(0; 5)$ bị loại.
