Câu hỏi:

Gọi \(x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\)lần lượt là số hộp bánh cốm và số hộp bánh Xu xê cần sản xuất.

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\0,2x + 0,1y \le 5\\0,1x + 0,1y \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 50\\x + y \le 30\end{array} \right.\).

Số tiền lãi thu được là \(F = 6x + 5y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(F = 6x + 5y\) trên miền nghiệm của bất phương trình trên.

Miền nghiệm của bất phương trình trên là miền trong tứ giác OABC kể cả biên (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {20;10} \right),C\left( {25;0} \right)\).

Biểu thức \(F = 6x + 5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể ở các điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {20;10} \right),C\left( {25;0} \right)\).

Với \(O\left( {0;0} \right)\) thì \(F = 0\).

Với \(A\left( {0;30} \right)\) thì \(F = 150\).

Với \(B\left( {20;10} \right)\) thì \(F = 170\).

Với \(C\left( {25;0} \right)\) thì \(F = 150\).

Do đó gia đình nhà Nam cần sản xuất 20 bánh Cốm và 10 bánh Xu xê thì lãi là lớn nhất.

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Xét tam giác MDN có MN = 18 + 1,6 – 1,5 = 18,1 m.

Ta có

\(\widehat {MND} = {90^ \circ } + {40^ \circ } = {130^ \circ }\);

\(\widehat {NMD} = {90^ \circ } - {80^ \circ } = {10^ \circ }\);

\(\widehat {NDM} = {180^ \circ } - {130^ \circ } - {10^ \circ } = {40^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(MDN\) ta có

\(\frac{{MN}}{{{\rm{sin}}D}} = \frac{{MD}}{{{\rm{sin}}N}} \Rightarrow MD = \frac{{MN}}{{{\rm{sin}}D}}{\rm{sin}}N = \frac{{18,1}}{{{\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}.{\rm{sin}}{130^ \circ }\).

Xét DMDH vuông tại H có

\(DH = DM.{\rm{sin}}\beta  = \frac{{18,1}}{{{\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}.{\rm{sin}}{130^ \circ }.{\rm{sin}}{80^ \circ } \approx 21,2\) m.

Do đó DE = DH + HE = 21,2 + 1,5 = 22,7 m.

Vậy chiếc diều cách mặt đất khoảng 22,7 m.

Lấy các điểm như hình vẽ sao cho \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {AM} ,\vec F = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AN} \).

Ta có \(AM = AC.{\rm{cos}}\widehat {MAC} = 50.{\rm{cos}}{60^ \circ } = 25\) (N).

Khi đó công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) là

\(A = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = AM.AB.{\rm{cos}}{90^ \circ } = 25.200.{\rm{cos}}{90^ \circ } = 0\)J.

Các tập con có 2 phần tử của tập hợp A là:

\(\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {1;5} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {2;5} \right\},\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {3;5} \right\},\left\{ {4;5} \right\}\).

Vậy có 10 tập con có hai phần tử của tập hợp A.

\(X \cup Y = \left\{ { - 1;0;1;2;4;7;9;10} \right\}\). Tập hợp \(X \cup Y\) có 8 phần tử.