Xét hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một điểm trong cùng một ngày. Lúc 9h sáng, chiếc thứ nhất đang ờ vị trí \(A\) cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất \(0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\). Chiếc thứ hai đang ở vị trí \(B\) nằm cách điềm xuất phát 1 km về phía Bắc và \(1,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\) về phía Tây đồng thời cách mặt đất \(0,8\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (\(Oxy\)) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Nam, trục \(Oy\) hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (như hình vẽ). Lấy đơn vị đo trên mỗi trục là km.

a) Tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất lúc 9h sáng là \(A\left( 2;1;0,5 \right)\).

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng \(AB\) là:

\(\frac{x-2}{30}=\frac{y-1}{25}=\frac{z-0,5}{3}\).

c) Lúc 9 h sáng, khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là \(3,92\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\) (làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị km).

d) Từ 9 h sáng đến 9h10' sáng, khinh khí cầu thứ nhất đi thẳng đều về hướng Nam với vận tốc \(50\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\) và độ cao không đổi để đến điểm \(M\), khinh khí cầu thứ hai chuyển động thẳng đều đến điểm \(N\) với vận tốc \(60\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\), biết vectơ \(\overrightarrow{BN}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{u}\left( 2;2;1 \right)\). Bỏ qua lực cản của gió, khoảng cách \(MN\) là \(4,66\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\) (làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị km).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

a) Đúng.

Vị trí của khinh khí cầu thứ nhất lúc 9 giờ sáng là \(A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}},{{z}_{A}} \right)\), biết:

+) \(A\) cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam \(\Rightarrow {{x}_{A}}=2\).

+) 1 km về phía Đông \(\Rightarrow {{y}_{A}}=1\).

+) cách mặt đất \(0,5\text{km}\Rightarrow {{z}_{A}}=0,5\).

Vậy \(A(2;1;0,5)\).

b) Sai.

Dựa vào giả thiết, ta có \(B(-1;-1,5;0,8)\)\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-3;-2,5;0,3)\).

Đường thẳng AB đi qua điểm \(A(2;1;0,5)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(30;25;-3)\) có phương trình chính tắc là:

\(\frac{x-2}{30}=\frac{y-1}{25}=\frac{z-0,5}{-3}\).

c) Đúng.

Lúc 9 giờ sáng, khoảng cách giữa hai kinh khí cầu bằng:

\(AB=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{(-2,5)}^{2}}+0,{{3}^{2}}}\approx 3,92(\text{km})\).

d) Sai.

Để tính được khoảng cách MN, ta cần tìm được toạ độ của điểm \(M\) và \(N\) lúc 9 giờ 10 phút sáng.

 Tìm điểm \(M\left( {{x}_{M}},{{y}_{M}},{{z}_{M}} \right)\):

Ta có khinh khí cầu thứ nhất di chuyển thẳng đều về phía Nam (tức hoành độ của khinh khí cầu không đổi \(\Leftrightarrow {{y}_{M}}=1\)) với vận tốc \(50\text{km}/\text{h}\) suy ra từ 9 giờ sáng đến 9 giờ 10 phút sáng, khinh khí cầu đi được: \(50\cdot \frac{1}{6}=\frac{25}{3}(\text{km})\).

\(\Rightarrow {{x}_{M}}=2+\frac{25}{3}=\frac{31}{3}\).

Và cao đội không đổi \(\Rightarrow {{z}_{M}}=0,5\).

Vậy điểm \(M\left( \frac{31}{3};1;0,5 \right)\).

 Tìm điểm \(N\left( {{x}_{N}},{{y}_{N}},{{z}_{N}} \right)\):

Vì vectơ \(\overrightarrow{BN}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{u}(2;2;1)\),

nên suy ra \(\overrightarrow{BN}=k(2;2;1)(k>0)\).

Khinh khí cầu thứ hai chuyển động thẳng đều đến điểm \(N\) với vận tốc \(60\text{km}/\text{h}\), nên trong khoảng thời gian từ 9 giờ sáng đến 9 giờ 10 phút sáng khinh khí cầu đi được 1 đoạn

\(BN=60\cdot \frac{1}{6}=10\)\(\Leftrightarrow k|(2;2;1)|=10\)\(\Leftrightarrow k\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=10\)\(\Leftrightarrow k=\frac{10}{3}.\)

\(\overrightarrow{BN}=\left( {{x}_{N}}+1;{{y}_{N}}+1,5;{{z}_{N}}-0,8 \right)\)\(=\frac{10}{3}(2;2;1)=\left( \frac{20}{3};\frac{20}{3};\frac{10}{3} \right)\).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{N}}=\frac{17}{3} \\ {{y}_{N}}=\frac{31}{6} \\ {{z}_{N}}=\frac{62}{15} \\\end{array}\Rightarrow N\left( \frac{17}{3};\frac{31}{6};\frac{62}{15} \right) \right.\).

Suy ra, \(MN=\sqrt{{{\left( \frac{17}{3}-\frac{31}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{31}{6}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{62}{15}-0,5 \right)}^{2}}}\approx 7,23\).