Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB=AC=AD=1\); \(\widehat{BAC}=60{}^\circ \); \(\widehat{BAD}=90{}^\circ \); \(\widehat{DAC}=120{}^\circ \). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng \(AG\) và \(CD\), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Trả lời:

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

*\(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow BC=1\).

*\(\Delta ACD\) cân tại \(A\) có \(CD=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AC.AD.\cos 120{}^\circ }=\sqrt{3}\).

*\(\Delta ABD\) vuông cân tại \(A\) có \(BD=\sqrt{2}\).

*\(\Delta BCD\) có \(C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}\)\(\Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại \(B\).

Dựng đường thẳng \(d\) qua \(G\)và song song \(CD\), cắt \(BC\) tại \(M\).

Ta có \(MG\ \text{//}\ CD\)\(\Rightarrow \left( AG,CD \right)=\left( AG,MG \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(B\) có \(DI=\sqrt{B{{D}^{2}}+B{{I}^{2}}}\)\(=\sqrt{2+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3}{2}\).

Ta có:

\(\frac{IM}{IC}=\frac{MG}{CD}=\frac{IG}{ID}=\frac{1}{3}\)\(\Rightarrow IM=\frac{1}{3}.IC\)\(=\frac{1}{3}.\frac{BC}{2}\)\(=\frac{1}{6}\);

\(MG=\frac{1}{3}.CD=\frac{\sqrt{3}}{3}\); \(IG=\frac{1}{3}.ID=\frac{1}{2}\).

Xét \(\Delta AIM\) vuông tại \(I\) có:

\(AM=\sqrt{A{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}}\)\(=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{7}}{3}\).

\(\cos \widehat{AID}=\frac{A{{I}^{2}}+I{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}{2AI.ID}\)\(=\frac{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}\).

\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{AG} & =\sqrt{\text{A}{{\text{I}}^{2}}+\text{I}{{\text{G}}^{2}}-2\text{AIIIG}\cdot \cos \widehat{\text{AID}}} \\ {} & =\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. \\ \end{array}\)

Xét \(\Delta AMG\) có:

\(\begin{array}{*{35}{l}} \cos (\text{AG},\text{MG}) & =|\cos \widehat{\text{AGM}}|=\left| \frac{\text{A}{{\text{G}}^{2}}+\text{G}{{\text{M}}^{2}}-\text{A}{{\text{M}}^{2}}}{2\cdot \text{AG}\cdot \text{GM}} \right| \\ {} & =\left| \frac{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{2}}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \right|=\frac{1}{6}\approx 0,17. \\ \end{array}\)