Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Thể tích \(V\) của chiếc trống là \(x(d{{m}^{3}})\). Tìm \(x\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8cm và trục nhỏ là 4cm quanh trục \(Ox\) và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính bằng 2cm quanh trục \(Ox\) như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho hai nửa đường tròn như hình vẽ, biết đường kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của đường tròn nhỏ

Nửa đường tròn đường kính \(AB\) có diện tích là \(32\pi \) và \(\widehat{BAC}={{30}^{0}}\). Ký hiệu \(\left( H \right)\) là hình phẳng được tô màu như trong hình vẽ. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(AB\) bằng bao nhiêu (Làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng \(1\). Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \(30{}^\circ \) ta thu được khối gỗ hình nêm \(\left( H \right)\) và đặt khối \(\left( H \right)\) vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi \(D\)  là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{e}^{x}},y=0,x=0\) và \(x=1\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y={{x}^{2}}-1\) và \(y=x-1\) bằng:

Ông Hùng muốn xây dựng một công viên hình chữ nhật với chiều dài 50 m và chiều rộng 20 m. Trong công viên, có một con sông uốn lượn dọc theo phương trình \(y=\text{sin}\frac{x}{10}+1,x\in \left[ 0,5\pi  \right]\). Con sông chia công viên thành hai phần không bằng nhau.

Tính diện tích phần còn lại của công viên không bị con sông chiếm chỗ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ bên nhận \(AB,CD\) làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính \(5\)\(dm\), các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng \(2\)\(dm\), \(AB=CD=4dm\) và chi phí sơn là 100 000 đồng/\({{m}^{2}}\). Tính chi phí \(x\) (đổi sang đơn vị triệu đồng và làm tròn đến hàng phần trăm) để sơn hoàn thiện chi tiết máy?

Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy là:\(x=S.2.100000\approx 7948638\((đồng) tức 7,95 (triệu đồng).

Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên \(\left[ a\,;\,b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) bằng:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, có bán kính đáy 1m. Chiều cao của mực nhiên liệu là 1,5m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn vị \({{\text{m}}^{3}}\), làm tròn đến chữ số thâph phân hàng phần trục).

Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng \(4\,m\,\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\)sao cho chiều cao cửa đi là \(CD=2m\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({{m}^{2}}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm.

(Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{\text{e}}^{x}}\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Một chi tiết máy có mặt cắt có dạng như trong hình trong hệ trục tọa độ \(Oxy\). Biết \({{y}_{1}}=\left| x \right|,{{y}_{2}}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\) và đồ thị \({{y}_{1}}\) tiếp xúc với đồ thị \({{y}_{2}}\) ; đơn vị trên mỗi trục là 1 mét. Diện tích mặt cắt bằng bao nhiêu \({{m}^{2}}\)?

Một ô tô đang chạy với tốc độ \(25\left( m/s \right)\) thì gặp chướng ngại vật, người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right)=-5t+20\left( m/s \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét (\(m\))?

Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O\). Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\). Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hình vẽ). Phần diện tích \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({{S}_{3}},{{S}_{4}}\) dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\), kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\). Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Đơn vị tính nghìn đồng) chục nghìn).

Một kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình vuông với mỗi cạnh dài \(120m\). Phần sân chơi nằm ở giữa, và phần còn lại để trồng cây xanh. Các đường biên của khu vực trồng cây xanh là các đoạn parabol, với đỉnh của parabol nằm cách trung điểm của mỗi cạnh hình vuông \(25m\). Tính diện tích phần trồng cây xanh.

Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{e}^{x}},y=0,x=0\) và \(x=1\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x; y = 0; x = 1; x = e\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a; b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: