Ông Hùng muốn xây dựng một công viên hình chữ nhật với chiều dài 50 m và chiều rộng 20 m. Trong công viên, có một con sông uốn lượn dọc theo phương trình \(y=\text{sin}\frac{x}{10}+1,x\in \left[ 0,5\pi  \right]\). Con sông chia công viên thành hai phần không bằng nhau.

Tính diện tích phần còn lại của công viên không bị con sông chiếm chỗ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một chi tiết máy có mặt cắt có dạng như trong hình trong hệ trục tọa độ \(Oxy\). Biết \({{y}_{1}}=\left| x \right|,{{y}_{2}}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\) và đồ thị \({{y}_{1}}\) tiếp xúc với đồ thị \({{y}_{2}}\) ; đơn vị trên mỗi trục là 1 mét. Diện tích mặt cắt bằng bao nhiêu \({{m}^{2}}\)?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{e}^{x}}\) và các đường thẳng \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\) bằng:

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a; b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x~=~a\), \(x~=~b\) là

Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài 5 m, có bán kính đáy 1 m. Chiều cao của mực nhiên liệu là 1,5 m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn vị \({{\text{m}}^{3}}\), làm tròn đến chữ số thâph phân hàng phần trục).

Cho hình phắng \((H)\) giới hạn bởi đố thị \(y=2 x-x^2\), trục hoành, \(\mathrm{x}=0 ; \mathrm{x}=2\). Tính thế tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho \((H)\) quay quanh trục .

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Một ô tô đang chạy với tốc độ \(25\left( m/s \right)\) thì gặp chướng ngại vật, người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right)=-5t+20\left( m/s \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét (\(m\))?

Cho vật thể có hình dạng như hình bên dưới. Nếu cắt vật thể bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt một khoảng \({x}\) (m) \({(0 \leq x \leq 3)}\) thì được hình vuông có cạnh \({\sqrt{9-x^2}}\) (m). Thể tích của vật thể bằng bao nhiêu theo đơn vị \({{m}^{2}}\)?

Anh Minh có một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 10m, chiều rộng 6m. Anh Minh muốn đổ bê tông dày 15cm một đường đi trong vườn (phần được tô màu). Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 2x^2 +x+1\) và \(y = x^2 +3\) bằng:

Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên \(\left[ a\,;\,b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) bằng:

Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu \(O\) và \(P\), cách nhau 4m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục Oxy như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình \(y=f\left( x \right)\).

Người ta chứng minh được \({f}''\left( x \right)=\frac{1}{100}\left( 2x-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\) với \(0\le x\le 4\). Tại điểm cách điểm P một khoảng 1 mét, tấm ván bị võng xuống bao nhiêu cm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Cho hình phắng \((H)\) giới hạn bởi đố thị \(y=2 x-x^2\), trục hoành, \(\mathrm{x}=0 ; \mathrm{x}=2\). Tính thế tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho \((H)\) quay quanh trục .

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+3\,\)có đồ thị là \(\,\left( P \right)\) và \(y=-{{x}^{2}}+2x+1\,\,\)có đồ thị là \(\left( H \right)\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( H \right)\) như hình vẽ.

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{2}}+3\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng:

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{2}}+3\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\). Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên coạn \(\left[ a;b \right]\). Xét hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\). Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) có thể tích là:

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x; y = 0; x = 1; x = e\). Mệnh đề nào sau đây đúng?