Một chiếc xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn nhất là 360 km/h. Đồ thị bên biểu thị vận tốc v của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong 2 giây đầu là một phần của một parabol đỉnh tại gốc tọa độ O, giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị 10 m/s và trong 5 giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu mét?

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\), \(x = -1\), \(x = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Một vật thể có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi hình phẳng \(\left( H \right)\) (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục \(AB\). Hình phẳng \(\left( H \right)\) nằm trong hình chữ nhật \(ABCD\), giới hạn bởi các đoạn thẳng \(AM,BP\) (\(M,P\) là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AD,BC\)), cung tròn \(MN\) và cung parabol \(NP\). Biết \(AB=5\text{dm},AM=1\text{dm},BPNE\) là hình vuông có cạnh 1 dm , cung tròn \(MN\) có bán kính \(R=\sqrt{5}\text{dm}\) và tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại \(N\) trùng nhau. Tính thể tích của vật thể tròn xoay đó, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Anh Minh có một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 10m, chiều rộng 6m. Anh Minh muốn đổ bê tông dày 15cm một đường đi trong vườn (phần được tô màu). Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x~=~a\), \(x~=~b\) là

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=3 x^2, y=0, x=0\) và \(x=1\) được tính bởi công thức nào sau đây?

Một kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình vuông với mỗi cạnh dài 120 m. Phần sân chơi nằm ở giữa, và phần còn lại để trồng cây xanh. Các đường biên của khu vực trồng cây xanh là các đoạn parabol, với đỉnh của parabol nằm cách trung điểm của mỗi cạnh hình vuông 25 m. Tính diện tích phần trồng cây xanh.

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài 5 m, có bán kính đáy 1 m. Chiều cao của mực nhiên liệu là 1,5 m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn vị \({{\text{m}}^{3}}\), làm tròn đến chữ số thâph phân hàng phần trục).

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?

Cho hình phắng \((H)\) giới hạn bởi đố thị \(y=2 x-x^2\), trục hoành, \(\mathrm{x}=0 ; \mathrm{x}=2\). Tính thế tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho \((H)\) quay quanh trục .

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 215 m, tốc độ của ô tô là 54 km/h. 1 giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v\left( t \right)=at+b\) (\(a,b\in \mathbb{R},\) \(a>0\)), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 13 giây và duy trì sự tăng tốc trong 17 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ \(v\left( t \right)=5t\ \ (\text{m/s});\)trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được 6 (s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a=-\,5\ (\text{m/}{{\text{s}}^{2}})\).

Hình vẽ bên dưới mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân trong một nhà máy trong thời gian 6 giờ. Công nhân \(A\) đang sản xuất với hiệu suất \({{{Q}'}_{1}}(t)=-2{{t}^{2}}+4t+58\) sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân \(B\) đang sản xuất với hiệu suất \({{{Q}'}_{2}}(t)=53+at\) sản phẩm mỗi giờ \((a\in \mathbb{R})\). Biết rằng hàm \({{Q}_{1}}(t)\) và \({{Q}_{2}}(t)\) mô phỏng số lượng sản phẩm mới làm được của công nhân \(A\) và công nhân \(B\) sau \(t\) giờ.

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng \(1\). Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \(30{}^\circ \) ta thu được khối gỗ hình nêm \(\left( H \right)\) và đặt khối \(\left( H \right)\) vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 2x^2 +x+1\) và \(y = x^2 +3\) bằng:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Gọi \(D\)  là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{e}^{x}},y=0,x=0\) và \(x=1\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a; b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức: