Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=1\); \(x=4\) khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc \(v\left( km/h \right)\) phụ thuộc vào thời gian \(t\left( h \right)\) có đồ thị như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh \(I\left( 3;9 \right)\) và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng \(\frac{1}{4}\). Tính quảng đường \(s\) mà vật di chuyển được trong 6 giờ?

Một chi tiết máy có mặt cắt có dạng như trong hình trong hệ trục tọa độ \(Oxy\). Biết \({{y}_{1}}=\left| x \right|,{{y}_{2}}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\) và đồ thị \({{y}_{1}}\) tiếp xúc với đồ thị \({{y}_{2}}\) ; đơn vị trên mỗi trục là 1 mét. Diện tích mặt cắt bằng bao nhiêu \({{m}^{2}}\)?

Cho vật thể có hình dạng như hình bên dưới. Nếu cắt vật thể bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt một khoảng \({x}\) (m) \({(0 \leq x \leq 3)}\) thì được hình vuông có cạnh \({\sqrt{9-x^2}}\) (m). Thể tích của vật thể bằng bao nhiêu theo đơn vị \({{m}^{2}}\)?

Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu \(O\) và \(P\), cách nhau 4m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục Oxy như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình \(y=f\left( x \right)\).

Người ta chứng minh được \({f}''\left( x \right)=\frac{1}{100}\left( 2x-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\) với \(0\le x\le 4\). Tại điểm cách điểm P một khoảng 1 mét, tấm ván bị võng xuống bao nhiêu cm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1\) và \(g\left( x \right)=2x-4\).

Xét hàm số \(Q\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x\).

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=3 x^2, y=0, x=0\) và \(x=1\) được tính bởi công thức nào sau đây?

Một cái màn chụp có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng mặt cắt của cái màn theo mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy và cách mặt đáy một khoảng bằng \(x\,\left( m \right)\), \(0\le x\le 2\) là một hình vuông cạnh bằng \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}\,\left( m \right)\). Thể tích của cái màn là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?

Hãy xác định tính Đúng-Sai của các khẳng định.

Một cái cổng hình parabol như hình bên. Chiều cao \({GH=4}\) m, chiều rộng \({AB=4}\) m, \({AC=BD=0{,}9}\) m. Người ta làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật \({CDEF}\) tô đậm với giá \({1\,200\,000}\) đồng/m\({^2}\), phần còn lại làm khung hoa sắt với giá \({900\,000}\) đồng/\({{m}^{2}}\).

Một vật thể có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi hình phẳng \(\left( H \right)\) (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục \(AB\). Hình phẳng \(\left( H \right)\) nằm trong hình chữ nhật \(ABCD\), giới hạn bởi các đoạn thẳng \(AM,BP\) (\(M,P\) là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AD,BC\)), cung tròn \(MN\) và cung parabol \(NP\). Biết \(AB=5\text{dm},AM=1\text{dm},BPNE\) là hình vuông có cạnh 1 dm , cung tròn \(MN\) có bán kính \(R=\sqrt{5}\text{dm}\) và tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại \(N\) trùng nhau. Tính thể tích của vật thể tròn xoay đó, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Thể tích \(V\) của chiếc trống là \(x(d{{m}^{3}})\). Tìm \(x\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right)={{t}^{2}}+10t\) \(\left( m/s \right)\) với \(t\) là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc \(200\,\left( m/s \right)\) thì rời đường băng. Tính quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình vuông với mỗi cạnh dài 120 m. Phần sân chơi nằm ở giữa, và phần còn lại để trồng cây xanh. Các đường biên của khu vực trồng cây xanh là các đoạn parabol, với đỉnh của parabol nằm cách trung điểm của mỗi cạnh hình vuông 25 m. Tính diện tích phần trồng cây xanh.

Một nhà thiết kế mỹ thuật yêu thích môn Toán muốn trang trí một viên gạch với họa tiết như hình 1. Các đường cong thực chất là các đường parabol và đồ thị hàm bậc ba. Dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình 2. Gọi hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) và hàm số bậc hai \(y=g\left( x \right)\) có đồ thị như trên hình.

Biết rằng đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y=g\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}}\,,\,\,{{x}_{2}}\,,\,\,{{x}_{3}}\) thoả mãn \({{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=-5\). Diện tích miền tô đậm bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 215 m, tốc độ của ô tô là 54 km/h. 1 giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v\left( t \right)=at+b\) (\(a,b\in \mathbb{R},a>0\)), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 13 giây và duy trì sự tăng tốc trong 17 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Lễ kỷ niệm \(30\) năm thành lập trường THPT Chu Văn An – Biên Hòa (1994-2024), nhà trường có cho dựng 1 cổng chào hình parabol với điểm cao nhất là \(6m\) và khoảng cách giữa hai chân cổng chào là \(8m\). Hỏi diện tích của cổng chào là bao nhiêu mét vuông ?