Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right)=\frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t\,\,\,\left( \text{m}/\text{s} \right)\), trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn 10 giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\left( \text{m}/{{\text{s}}^{2}} \right)\) ( \(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp \(A\).

Biết \(F\left( x \right)={{x}^{2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_{1}^{3}{\left[ 1+f(x) \right]dx}\) bằng:

Tích phân \(\int_{-1}^{1}{{{x}^{2020}}}\text{d}x\) bằng:

Tính \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\sin (\frac{\pi }{2}\,-x)\,\text{d}x}\) được kết quả là:

Diện tích hình thang cong ở hình vẽ bên là \(S=10\). Tích phân \(\int_{0}^{4}{\left[ 4x+f\left( x \right) \right]}\text{d}x\) bằng:

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như hình bên dưới, có vận tốc tức thời cho bởi \(v(t) = 2\cost\), trong đó t tính bằng giây và \(v(t)\) tính bằng cm/s. Tại thời điểm \(t = 0\), con lắc ở vị trí cân bằng. Tính quãng đường mà con lắc lò xo di chuyển được sau 1 giây kể từ vị trí cân bằng theo đơn vị centimet (làm tròn đến hàng phần trăm).

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ

\(v\left( t \right)=2,01t-0,025{{t}^{2}}\left( 0\le t\le 10 \right)\).

Trong đó \(v\left( t \right)\) tính theo \(\text{m}/\text{s}\), thời gian \(t\) tính theo \(s\) với \(t=0\) là thời điểm xe xuất phát.

Nếu  \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\,}dx=4\)thì  \(\int\limits_{1}^{3}{3f\left( x \right)\,}dx\) bằng:

Tính tích phân\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x}dx\).

Tích phân \({\int\limits_1^2 \frac{1}{x \sqrt{x}} {d} x}\) có giá trị bằng:

Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc

\(a\left( t \right)=-\frac{1}{24}{{t}^{3}}+\frac{5}{16}{{t}^{2}}\left( m/{{s}^{2}} \right)\), 

trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát.

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a\,;\,b \right]\). Tích phân \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc \(72\) \(km/h\) thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó \(45\ m\). Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \(v\left( t \right)=-12t+24\ \left( m/s \right)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quảng đường xe ô tô đi được trong \(t\) (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là 36 km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v(t) = at + b\) \((a, b \in R, a > 0)\), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Nếu \(\int\limits_{1}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x=2\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{\left[ f\left( x \right)+2x \right]dx}\) bằng:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc \(x\left( \text{m/s} \right)\) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số \(v=-5t+20\left( \text{m/s} \right)\), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

Cho \(F(x) = x^3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int_{0}^{2} [-4 + f(x)] dx\) bằng:

Nếu \(\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left[ \text{sin}x-3f\left( x \right) \right]}\text{d}x=6\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{f}\left( x \right)\text{d}x\) bằng:

Để đảm bảo an toàn khi khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Ô tô A đang chạy với vận tốc \(16\text{m}/\text{s}\) bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước nên ô tô A đạp phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right)=16-4t\left( \text{m}/\text{s} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho \(\int_0^1 f(x)dx = 3\) và \(\int_0^1 g(x)dx = 7\). Tinh \(\int_0^1 [f(x)-g(x)]dx\).

Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình \(v\left( t \right)={{t}^{2}}-2t+1\) trong đó \(t\) được tính bằng giây, quãng đường \(s\left( t \right)\) được tính bằng mét.