Một máy bay di chuyển từ sân bay \(A\) với tọa độ \(A(0;0;0)\) đến sân bay \(B\) tại tọa độ \(B(760;120;10)\) (đơn vị tính là km). Trên hành trình, máy bay sẽ đi qua vùng kiểm soát không lưu trung gian có bán kính \(100km\), với tâm trạm kiểm soát đặt tại tọa độ \(O(380;60;0)\). Máy bay bay với vận tốc không đổi, hoàn thành quãng đường trong \(1\) giờ \(25\) phút.

Trong không gian, cho hình hộp \(ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'\). Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) (minh họa như hình bên).

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có cạnh bằng \(a\). Độ dài của vectơ \(\vec{u}=\overline{{A}'{C}'}-\overline{{A}'A}\) bằng:

Cho hình hộp \(ABCD\cdot {A}'{B}'{C}'{D}'\) (minh họa như hình bên). Phát biểu nào sau đây là sai?

Xét hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một điểm trong cùng một ngày. Lúc 9h sáng, chiếc thứ nhất đang ờ vị trí \(A\) cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất \(0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\). Chiếc thứ hai đang ở vị trí \(B\) nằm cách điềm xuất phát 1 km về phía Bắc và \(1,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\) về phía Tây đồng thời cách mặt đất \(0,8\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (\(Oxy\)) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Nam, trục \(Oy\) hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (như hình vẽ). Lấy đơn vị đo trên mỗi trục là km.

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( -5;2;3 \right)\) và \(B\) là điểm đối xứng của \(A\) qua trục \(Oy\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng:

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (minh họa như hình bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có cạnh \(2\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{A}'{C}'}-\overrightarrow{{A}'A}\) bằng:

Một người muốn lắp mạng wifi trong nhà. Ông ấy muốn lắp điểm phát wifi sao cho có thể phát sóng đến mọi nơi trong căn nhà mình. Vì thế ông ấy đã xác định một số điểm phát sóng tối đa mà sóng wifi có thể tới trong nhà mình như sau:

• Cổng nhà để lắp camera an ninh được gắn với điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\).

• Góc phòng làm việc được gắn với điểm \(B\left( 1;3;0 \right)\).

• Sân sau vườn nhà để gắn camera an ninh sau vườn được gắn với điểm \(C\left( -1;0;3 \right)\).

• Góc trong cùng của tầng 2 nhà ông ấy được gắn với điểm \(D\left( 1;2;3 \right)\).

Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là bao nhiêu. Biết wifi phát sóng được xem như là hình cầu. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Một ống phun nước có hình dạng như hình vẽ dưới. Để giữ cho ống nước được cân bằng không bị nghiêng kỹ sư sử dụng ba đoạn thép để nối các điềm C, A, G với mặt đất, các đoạn thép CD, GF, AE có độ lớn lực căng lần lượt bằng 1200N, 800N và 600 N. Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), coi gốc tọa độ là chân ống nước, trục \(Oz\) hướng lên trời, mặt đất là mặt phẳng (\(Oxy\)) các thông số được cho như hình vẽ, đơn vị trên các hệ trục tọa độ tính bằng mét. Coi đường kính ống không đáng kể, độ lớn vectơ hợp lực của ba sợi thép tác động lên ông nước là bao nhiêu Niutơn (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (minh họa như hình bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng \(Oxy\) trùng với mặt sân, trục \(Ox\) trùng với vạch chia đôi sân, tia \(Oz\) vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).

Một khán giả ngồi tại vị trí \(M\) của khán đài A, có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng chứa sân là một điểm thuộc \(Ox.\) Góc hợp bởi \(OM\) và mặt sân là \(\alpha \) với \(\sin \alpha =\frac{1}{3},\) nếu người này di chuyển 10 (m) trên hàng ngang đó đến ngồi tại một vị trí \(N\) thì góc hợp bởi \(ON\) và mặt sân là \(\beta \) với \(\sin \beta =\frac{\sqrt{10}}{10}.\) Gọi \(h~\left( m \right)\) là độ cao tại \(M\) so với mặt sân.

Cho tứ diện \(ABCD\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) với \(AB=4\).

Tính \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{{B}'{C}'}+\overrightarrow{A{A}'} \right|\)?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'  (minh họa như hình bên).

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hình hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) (hình vẽ). Đẳng thức nào sau đây sai?

Trong hóa học, cấu tạo của phân tử amoniac \(\left( \text{N}{{\text{H}}_{3}} \right)\) có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen \(\left( N \right)\) và đáy là tam giác \({{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}\) với \({{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}\) là vị trí của ba nguyên tử hydrogen \(\left( H \right)\). Góc tạo bởi liên kết \(H-N-H\), có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}\) (chẳng hạn \({{H}_{1}}N{{H}_{2}}\)), gọi là góc liên kết của phân tử \(\text{N}{{\text{H}}_{3}}\). Góc này xấp xỉ \({{107}^{\circ }}\). Trong không gian Oxyz, cho một phân tử \(\text{N}{{\text{H}}_{3}}\) được biểu diễn bởi hình chóp tam giác đều \(N.{{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}\) với \(O\) là tâm của đáy. Nguyên tử nitrogen được biểu diễn bởi điểm \(N\) thuộc trục Oz , ba nguyên tử hydrogen ở các vị trí \({{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}\) trong đó \({{H}_{1}}\left( 0;-2;0 \right)\) và \({{H}_{2}}{{H}_{3}}\) song song với trục \(Ox\) như hình vẽ minh hoạ. Khoảng cách ngắn nhất giữa các nguyên tử là bao nhiêu?

 (Kết quả làm tròn đến chũ số hàng phần trăm).

Cho tứ diện \(SABC\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\), \(I\), \(E\), \(K\) tương ứng là trung điểm của \(SA\), \(AB\), \(SI\), \(CG\).

Cho hình hộp \(ABCD.\,A'B'C'D'\) (minh họa hình vẽ). Phát biểu nào sau đây là đúng?