Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng \(230\,m\), các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng \(219\,m\) (kích thước hiện nay). Kim tử tháp Cheops được mô phỏng bởi hình chóp \(S.ABCD\) với \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) như hình bên dưới. (Theo britannica.com).

Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng \(230\,m\), các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng \(219\,m\) (kích thước hiện nay). Kim tử tháp Cheops được mô phỏng bởi hình chóp \(S.ABCD\) với \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) như hình bên dưới. (Theo britannica.com).

a) Góc tạo bởi cạnh bên \(SC\) và cạnh đáy \(AB\) của kim tự tháp (gần đúng) là \(48,3{}^\circ \).

b) Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\).

c) Đường thẳng \(SO\) vuông góc cạnh đáy \(AB\) và \(BC\).

d) Biết rằng độ dài \(SO\) chính là chiều cao của kim tử tháp Cheops, ta tính được \(SO\approx 146,67\,m\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

a) Tính góc tạo bởi cạnh bên \(SC\) và cạnh đáy \(AB\) của kim tự tháp.

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB//CD\).

Khi đó \(\left( SC,AB \right)=\left( SC,CD \right)=\widehat{SCD}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\).

Suy ra \(DH=HC=\frac{CD}{2}=\frac{230}{2}=115\,m\).

Vì tam giác \(SCD\) có \(SC=SD\) nên tam giác \(SCD\) cân tại \(S\) mà \(SH\) là trung tuyến nên \(SH\) là đường cao tam giác \(SCD\).

Xét tam giác \(SHC\) vuông tại H, ta có:

\(\cos \widehat{SCD}=\cos \widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}=\frac{115}{219}\Rightarrow \widehat{SCD}\approx 58,3{}^\circ \).

Vậy góc tạo bởi cạnh bên \(SC\) và cạnh đáy \(AB\) của kim tử tháp khoảng \(58,3{}^\circ \).

Do đó mệnh đề a) sai.

b) Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\).

+ Xét tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), ta có: \(SO\) là đường cao của tam giác \(SAC\) nên \(SO\bot AC\).

+ Xét tam giác \(SBD\) cân tại \(S\), ta có: \(SO\) là đường cao của tam giác \(SBD\) nên \(SO\bot BD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & SO\bot AC \\ & SO\bot BD \\ & AC,BD\subset \left( ABCD \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\).

Do đó mệnh đề b) đúng.

c) Đường thẳng \(SO\) vuông góc cạnh đáy \(AB\) và \(BC\).

Do \(\left\{ \begin{align} & SO\bot \left( ABCD \right) \\ & AB,\,\,BC\subset \left( ABCD \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow SO\bot AB,\,\,SO\bot BC\).

Do đó mệnh đề c) đúng.

d) Tính chiều cao SO của kim tử tháp Cheops.

Do chiều cao của kim tử tháp chính là chiều cao của tam giác \(SAC\) nên cần tính cạnh \(SO\), với \(O\) là trung điểm \(AC\), ta có:

Tam giác \(SAC\) có cạnh \(SA=SC\) nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\).

Xét hình vuông \(ABCD\), ta có: \(AC=AB\sqrt{2}=230\sqrt{2}\,m\).

\(\Rightarrow AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{230\sqrt{2}}{2}=115\sqrt{2}\,m\).

Xét tam giác \(SOC\) vuông tại \(O\), ta có:

\(SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{219}^{2}}-{{\left( 115\sqrt{2} \right)}^{2}}}=7\sqrt{439}\,m\approx 146,67\,m\).

Vậy chiều cao của kim tử tháp Cheops khoảng \(146,67\,m\).

Do đó mệnh đề d) đúng.