Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.

Gọi A: “Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen”;

Và B: “Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng”.

Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B.

Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. Tỷ lệ các dự án các loại đó tương ứng là \(20%;\text{ }45%\text{ }v\grave{a}\text{ }35%\). Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ các dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là \(5%;\text{ }20%\text{ }v\grave{a}\text{ }40%.\) Nếu một dự án gặp rủi ro sau kỳ đầu tư thì khả năng dự án rủi ro lớn nhất là bao nhiêu?

Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có \(6\)viên kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên \(1\) viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm \(1\) viên kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\). Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo?

Bạn Thuỷ lần lượt bỏ một cách ngẫu nhiên 8 viên bị cùng loại vào 3 chiếc hộp màu xanh, đỏ, vàng. Mỗi hộp có thể chứa từ 0 đến 8 viên bị. Tính xác suất của biến cố có một hộp chứa 4 viên bị, hai hộp còn lại, mỗi hộp chứa 2 viên bi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hai biến cố A, B thỏa mãn \(P\left( A \right)=\frac{2}{5},P\left( B|A \right)=\frac{1}{3}\)và \(P\left( B|\overline{A} \right)=\frac{1}{4}\). Tính \(P\left( B\overline{A} \right)\).

Khảo sát thị trường có \(22,5\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\) khách hàng sử dụng sản phẩm \(X,50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\) dùng sản phẩm \(Y\), \(36,5\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\) trong số người dùng sản phẩm \(Y\) có dùng sản phẩm \(X\). Tìm xác suất một người dùng sản phẩm Y , biết rằng người đó không dùng sản phẩm \(X\).

Ở vùng A có hai nhóm, nhóm 1 là nhóm người có thu nhập tốt (trên 15 triệu đồng/tháng) và nhóm 2 là nhóm có thu nhập không tốt. Ở vùng A có 40% người có thu nhập tốt và 58% người không gửi tiết kiệm. Khảo sát độc lập những người thuộc nhóm 1 và nhóm 2 và tính tỉ lệ phần trăm số người gửi tiết kiệm của từng nhóm thì thấy rằng: Tỷ lệ người gửi tiết kiệm của nhóm 1 gấp đôi tỉ lệ người tiết kiệm của nhóm 2. Giả sử một người ở vùng A không gửi tiết kiệm. Xác suất để người ấy có thu nhập tốt là bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phầm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là \(70\%\) và \(30\%\).

Gọi \(A\) là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm".

Gọi \(B\) là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm".

Cho A và B là hai biến cố. \(P(A) = 0,7, P(B|A) = 0,9.\) Tính \(P(AB).\)

Mỗi hộp đựng 12 bóng đèn, các bóng đèn trong cùng hộp thì cùng màu. Số hộp đựng bóng đèn màu xanh nhiều gấp 9 lần số hộp đựng bóng đèn màu vàng. Trong mỗi hộp đựng bóng đèn màu xanh có 3 bóng bị hỏng, mỗi hộp đựng bóng đèrn màu vàng có 2 bóng bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra hai bóng đèn từ một hộp bất kì, biết cả hai bóng đều bị hỏng. Xác xuất để lấy ra hai bóng đèn màu xanh bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai bạn An, Bình cùng ném bóng rổ. Mỗi lần chỉ có một người ném với quy tắc như sau: Nếu ném trúng thì người đó sẽ ném tiếp, nếu ném trượt thì đến lượt người kia ném. Ở mọi lần ném bóng, xác suất An ném trúng đều là 0,4 và xác suất Bình ném trúng đều là 0,6. Hai bạn rút thăm để quyết định người ném bóng đầu tiên. Xác suất người được ném đầu tiên là An và xác suất người được ném đầu tiên là Bình cùng bằng 0,5. Tìm xác suất để người ném bóng lần thứ  2 là Bình.

Cho hai biến cố A và B có \(P(A) = 0,8, P(B) = 0,5, P(AB) = 0,2\). Xác suất của biến cố A với điều kiện B là

Khảo sát thị lực của \(100\) học sinh ta thu được bảng số liệu sau:

Chọn ngẫu nhiên một bạn trong số \(100\) bạn học sinh nói trên. Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh được chọn có tật khúc xạ” và \(B\) là biến cố “Học sinh được chọn là nữ”.  Giá trị biểu thức \(P\left( B \right).P\left( A|B \right)+P\left( \overline{B} \right).P\left( A|\overline{B} \right)\) bằng:

Một phân xưởng của nhà máy phân bón A có 10 máy trộn phân bón hoạt động một cách độc lập với nhau. Nhân viên bảo trì của nhà máy xác định rằng lúc nào cũng sẽ có đúng 2 máy hỏng để bảo trì. Tìm xác suất để máy thứ nhất không hỏng. Biết rằng xác suất hỏng của các máy là như nhau và bằng \(0,1\). 

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Lớp 12A1 có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh tham gia câu lạc bộ cầu lông, 16 học sinh tham

gia câu lạc bộ đá bóng, 12 học sinh tham gia cả câu lạc bộ cầu lông và câu lạc bộ đá bóng. Chọn ngẫu nhiên

một học sinh. Xét các biến cố sau:

A: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ cầu lông”.

B: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ đá bóng”.

Hãy xác định tính Đúng-Sai của các khẳng định.

Lớp 12A có \({40}\) học sinh, trong đó có \({25}\) học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, \({16}\) học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, \({12}\) học sinh vừa tham gia câu lạc bộ tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Toán. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xét các biến cố sau:

\({A}\):  Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh;

\({B}\):  Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Toán.

Cho hai biến cố \(A\),\(B\) là hai biến cố độc lập với \(P\left( A \right)=0,1997,\,\,P\left( B \right)=0,1994.\) Tính \(P\left( A|B \right).\)

Cho các biến cố \({A}\) và \({B}\) thỏa mãn \({\mathrm{P}(A)>0}\), \({\mathrm{P}(B)>0}\). Khi đó \({\mathrm{P}(A\mid B)}\) bằng biểu thức nào dưới đây?

Một căn bệnh \(X\) có \(4\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\) dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán bệnh \(X\) có tỉ lệ chính xác là \(99\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\). Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính \(99\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\) số trường hợp. Với những người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chẩn đoán đúng \(98\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\). Chọn ngẫu nhiên một người đi kiểm tra bệnh \(X\) bằng phương pháp trên.

Cho hai biến cố ngẫu nhiên \(A\) và \(B\) có \(P(A) = 0,5;\) \(P(B) = 0,8\) và \(P(AB) = 0,4.\) Xác suất của \(B\) với điều kiện \(A\) là:

Cho hai biến cố \(A,B\) thoả mãn \(P\left( A \right)=0,4;P\left( B \right)=0,3;P\left( A\mid B \right)=0,25\). Khi đó, \(P\left( B\mid A \right)\) bằng: