Hai đảo \(A\) và \(B\) cách bờ một khoảng \(AD=40\text{ }\!\!~\!\!\text{km}\) và \(BC=30\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\) (như hình vẽ). Người tamuốn dựng một trạm phát sóng \(M\) trên bờ \(DC\) sao cho khoảng cách từ trạm phát sóng đến hai đảo bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai vị trí \(D\) và \(C\) là 70 km.

Tính khoảng cách giữa hai đảo.

Trong mp Oxy, cho \(\text{A}\left( 1;2 \right)\), \(\text{B}\left( 2;3\right)\), \(\text{C}\left( 2;5 \right)\). Tính \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) là

Có hai tàu điện ngầm \(A\) và \(B\) chạy trong nội đô thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo km), sau khi xuất phát \(t\) giờ \(\left( t\ge 0 \right)\), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{align}  & x=7+6t  

 & y=-8+8t  \end{align} \right.\), vị trí của tàu \(B\) có tọa độ là \(\left( 9+8t\,;-4+2t \right)\). Sau bao lâu kể thừ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất (làm tròn đến phút)?

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\vec{a}=\left( -1;3 \right)\), \(\vec{b}=\left( 5;-7 \right)\). Tọa độ vectơ \(3\vec{a}-2\vec{b}\) là:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( 1\,;\,1 \right),\) \(B\left( 2\,;\,-5 \right),\) \(C\left( 4\,;\,0 \right)\) và \(O\) là gốc tọa độ. Tìm tọa độ điểm \(M\) biết \(\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\vec{a}=\left( 2;-1 \right)\) và\(\vec{b}=\left( 4;7 \right)\). Tính \(\vec{a}\cdot \vec{b}\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 3 điểm \(A(1;-2)\), \(B(2;3)\), \(C(-1;-2)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là:

a) Trong mặt phẳng \(\text{Oxy}\)cho \(\overrightarrow{a}=\left( 3;-4 \right),\overrightarrow{b}=\left( -5;1 \right)\). Tìm toạ độ vec tơ   \(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{i}=\left( 1;0 \right)\) là vec tơ đơn vị của trục \(Ox\)

b) Cho \(\Delta ABC\) biết \(AB:3x+2y+5=0\), \(AC:x-y=0\), \(BC:4x-3y+2025=0\). Viết phương trình đường cao của \(\Delta ABC\) xuất phát từ đỉnh \(A\).

Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( {2;5} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {3;3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \).

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( 1;4 \right)\), \(B\left( -2,\,3 \right)\) và điểm \(C\left( a,\,b \right)\). Biết rằng \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Tích \(ab\) có giá trị là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b = \left( { - 3;2} \right)\). Tính \(\left| {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|\).

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(-3;1)\), \(B(1;3)\), \(C(7;1)\). Điểm \(D\left( a;b \right)\) để tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân với hai đáy \(AB,CD\). Tính \(a+b\).

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các điểm \(A(-4;1)\), \(B(2;4)\), \(C(2;-2)\).

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( 3;-2 \right)\), \(B\left( 2;-6 \right)\), \(C\left( 5;1 \right)\). Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề sau:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\vec{a}=\left( -1;2 \right)\), \(\vec{b}=\left( 3;-2 \right)\). Tọa độ của \(\vec{u}=\vec{a}+\vec{b}\) bằng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có toạ độ các đỉnh \(A\left( 4;3 \right)\);\(B\left( 2;-3 \right)\); \(C\left( 1;1 \right)\).

Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=3-32t  \\   y=-4+24t  \\\end{array} \right.\); vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \((4-25t;3-35t)\). Nếu tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu \(B\) chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec{a}=\left( 3;2 \right)\) và \(\vec{b}=\left( 5;-1 \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( -1;3 \right)\), \(B\left( 3;5 \right)\), \(C\left( 4;1 \right)\).

Cho \(\vec{a}\left( 3;-4 \right)\), \(\vec{b}\left( -1;2 \right)\). Tọa độ của véctơ \(\vec{a}+2\vec{b}\) là