Gọi \(n\) là số bậc của cầu thang.
Số gạch của bậc thứ \(k\) là \({{u}_{k}}=100-2(k-1)\).
Tống số gạch được sử dụng là \({{S}_{n}}=2130\).
Công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \({{S}_{n}}=\frac{n}{2}\left[ 2{{u}_{1}}+(n-1)d \right]\)
trong đó \({{u}_{1}}\) là số hạng đầu tiên và \(d\) là công sai. Trong bài toán này, \({{u}_{1}}=100\) và \(d=-2\). Ta có:
\[\begin{array}{*{35}{l}} 2130 & =\frac{n}{2}[2(100)+(n-1)(-2)] \\ 2130 & =\frac{n}{2}[200-2n+2] \\ 2130 & =\frac{n}{2}[202-2n] \\ 2130 & =n(101-n) \\ 2130 & =101n-{{n}^{2}}. \\ \end{array}\]
\(\Leftrightarrow {{n}^{2}}-101n+2130=0.\)
Ta có phương trình bậc hai \({{n}^{2}}-101n+2130=0\).
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
\[\begin{array}{*{35}{l}} n & =\frac{b\pm\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\ n & =\frac{101\pm \sqrt{{{(-101)}^{2}}4(1)(2130)}}{2(1)} \\ n & =\frac{101\pm \sqrt{10201-8520}}{2} \\ n & =\frac{101\pm \sqrt{1681}}{2} \\ n & =\frac{101\pm 41}{2} \\ \Leftrightarrow &\left[ \begin{matrix} {{n}_{1}} & =\frac{101+41}{2}=\frac{142}{2}=71 \\ {{n}_{2}} & =\frac{101-41}{2}=\frac{60}{2}=30 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{array}\]
Vì số gạch mỗi bậc giảm dần, nên số bậc thang phải nhỏ hơn số gạch bậc đầu tiên chia cho hiệu số gạch giữa hai bậc liên tiếp.
\[\frac{100}{2}=50.\]
Vì vậy, số bậc thang phải nhỏ hơn 50.
Do đó, ta chọn \(n=30\).
