Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33 và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng 44 (nhập đáp án vào ô trống)?

Vì \({{u}_{1}}\) chẵn và trong dãy có số hạng lè nên \(d\) lẻ.

Trường hợp 1: Dãy số có lẻ số hạng.

Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n}};{{u}_{2n+1}}\).

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n+1}}=44  \\   {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}} \right)\cdot (n+1)}{2}=44  \\   \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33  \\\end{array} \right. \right.\).

Mà \({{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n}}+d={{u}_{2}}+{{u}_{2n}}\) nên \(\frac{n+1}{n}=\frac{44}{3}\Rightarrow n=3\).

\(\Rightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}+{{u}_{7}}=77\) \(\Leftrightarrow 7{{u}_{4}}=77\Leftrightarrow {{u}_{4}}=11\).

+) Với \(d>0\):

Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=11\Leftrightarrow 3d=11-{{u}_{1}}\).

Do \({{u}_{1}}\ge 2\Rightarrow 3d\le 11-2\Leftrightarrow 3d\le 9\Leftrightarrow d\le 3\).

Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{1;3\}\).

+) Với \(d<0\):

Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{7}}-3d=11\Leftrightarrow {{u}_{7}}=3d+11\).

Do \({{u}_{7}}>0\Rightarrow 3d+11>0\Leftrightarrow d>-\frac{11}{3}\). \(\Rightarrow -\frac{11}{3}<d<0\).

Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{-3;-1\}\).

Trường hợp 2: Dãy số có chẵn số hạng.

Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n-1}};{{u}_{2n}}\).

Do đó, để tổng số hạng có giá trị chẵn lớn hơn tổng số hạng có giá trị lẻ thì \(d<0\).

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n-1}}=44  \\   {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}} \right)\cdot n}{2}=44  \\   \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33  \\\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}}{2}=\frac{44}{n}  \\   \frac{{{u}_{2}}+{{u}_{2n}}}{2}=\frac{33}{n}  \\\end{array} \right. \right. \right.\)

Mà \({{u}_{2}}+{{u}_{2n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}+2d\) nên \(\frac{33}{n}=\frac{44}{n}+d\Leftrightarrow nd=-11\).

Do \(n\) là số tự nhiên và \(d\) lẻ nên \(\left[ \begin{array}{*{35}{l}}   n=11;d=-1  \\   n=1;d=-11  \\\end{array} \right.\).

Với \(n=11\); \(d=-1\) thì

\(\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{21}}}{2}=\frac{44}{11}\Leftrightarrow \frac{2{{u}_{1}}+20d}{2}=4\Leftrightarrow {{u}_{1}}=14\Rightarrow {{u}_{21}}=-6\).

Do các số hạng của cấp số cộng là số tự nhiên nên trường hợp này không thoả mãn.

Với \(n=1\); \(d=-11\) cấp số cộng có hai số hạng là \({{u}_{1}}=44\); \({{u}_{2}}=33\).

Vậy có 5 cấp số cộng thoả mãn yêu cầu bài toán.