Cho hai số thực \(x \geq 0 ; 1 \leq y \leq 3\) thỏa mãn \(2^{x-2 y} \cdot(2 x+1)=4 y+2 x+4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2^{x-y-2}-x-y^{2}+2037\) ? (nhập đáp án vào ô trống).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Phương pháp giải
Giải bất phương trình hàm mũ.
Lời giải
Giả thiết cho \(2^{x-2 y} .(2 x+1)=4 y+2 x+4\)
\(\Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2(2 y+x+2) 2^{2 y} \Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2^{2 y+1}(2 y+x+2)\)
\(\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1)\)
Xét hàm số \(f(t)=2^{t} .(t+1)\) trên \((0 ;+\infty)\); suy ra
\(f^{\prime}(t)=2^{t} .(t+1) \ln 2+2^{t}>0, \forall t \in(0 ;+\infty)\)
Vậy hàm số \(f(t)\) luôn đồng biến trên \((0 ;+\infty)\) nên ta có:
\(\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1) \Leftrightarrow 2 x=2 y+x+1 \Leftrightarrow x=2 y+1\)
Suy ra:
\(P=2^{x-y-2}-x-y^{2}+2037=2^{y-1}-\left(y^{2}+2 y+1\right)+2037=\frac{1}{4} .2^{y+1}-(y+1)^{2}+2037\)
Xét hàm số \(g(a)=\frac{1}{4} .2^{a}-a^{2} ; a \in[2 ; 4]\)
\(g^{\prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln 2}{4}-2 a \Rightarrow g^{\prime \prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln ^{2} 2}{4}-2<0, \forall a \in[2 ; 4]\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)
\(\Rightarrow \max _{[2 ; 4]} g^{\prime}(a)=g^{\prime}(2)=\ln 2-4<0\)
\(\Rightarrow g(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)
\(\Rightarrow \min g(a)=g(4)=-12\)
Vậy \(\min P=-12+2037=2025\) khi \(y+1=4 \Rightarrow y=3 ; x=7\).
Đề Thi Tham Khảo Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 2 mang đến cho thí sinh một trải nghiệm thi cử mới mẻ, bám sát chương trình GDPT 2018, kiểm tra khả năng Giải Quyết Vấn Đề, Tư Duy Sáng Tạo, Giao Tiếp và Hợp Tác. Với thời lượng 195 phút, bài thi bao gồm ba phần: Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng, Văn Học - Ngôn Ngữ/Tư Duy Định Tính và Khoa Học/Tiếng Anh. Mỗi phần đều có dạng thức câu hỏi phong phú như trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn và điền đáp án, đảm bảo đánh giá toàn diện năng lực học sinh trên nhiều khía cạnh học thuật khác nhau.
Câu hỏi liên quan
Những phát biểu nào sau đây đúng khi nói về vai trò của lớp vật liệu hấp thụ dao động trong đầu dò của máy siêu âm?
Cho các phát biểu sau đây về kì trung gian:
1) Có 3 pha: G1, S và G2.
2) Ở pha G1, tế bào tổng hợp các chất cần cho sự sinh trưởng
3) Ở pha G2, ADN nhân đôi dẫn tới sự phân đôi NST đơn thành NST kép.
4) Ở pha S, tế bào tổng hợp những gì còn lại cần cho phân bào.
Số phát biểu đúng là:
Nguyên tử không mang điện vì
Hệ tuần hoàn của động vật được cấu tạo từ các bộ phận nào sau đây?
Carbohydrate được chia thành đường đơn, đường đôi và đường đa dựa vào yếu tố nào?
Điền vào chỗ trống kết quả chính xác hoặc kết quả làm tròn xấp xỉ đến chữ số thập phân thứ nhất:
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao \(h=4m\), bán kính đáy \(r=3m\):
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng (……) \({{m}^{2}}\) (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, biết \(\pi \approx 3,14\)).
Số orbital trong các phân lớp s, p, d lần lượt bằng
Biết rằng \(F\left( x \right)=\text{ln}\left| 2x+1 \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2}{2x+1}\). Cho \(\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}}=\text{ln}S\). Khi đó giá trị của \(S\) là:
Kết quả của đoạn chương trình sau:
for x in range(3, 10, 2):
print(x)
Các đối tượng có thể có trong phim hoạt hình là?
Hạ tầng mạng của hệ thống IoT là
Sự kiện nào đã đánh dấu sự thành lập nhà nước tư sản đầu tiên ở ngoài châu Âu?
Vào khoảng 66 triệu năm trước, một thiên thạch khổng lồ đâm xuống Trái Đất. Vụ nổ này đã tạo ra một đám mây bụi khổng lồ bao trùm lấy hành tinh, chắn hết ánh nắng Mặt Trời và tạo ra một kiểu môi trường "mùa đông hạt nhân". Không có ánh sáng, thực vật bắt đầu chết. Kế đó là các loài động vật ăn thực vật và động vật ăn thịt phụ thuộc. Ngay cả các loài khủng long khổng lồ đang thống trị toàn bộ thế giới cũng không thoát được nạn tuyệt chủng. Được gọi là cuộc đại tuyệt chủng kỉ Phấn trắng, sự kiện này cuối cùng đã giết chết 3/4 số loài thực vật và động vật trên toàn cầu. Không có bất kỳ một loài sinh vật lớn nào nặng trên 25 kg có thể tồn tại qua thời kỳ đó. Tuy nhiên, Eutheria, tổ tiên của chuột và con người, đã may mắn sống sót. Nhờ sở hữu thân hình nhỏ bé, lông lá và một chế độ ăn tạp từ hạt thực vật cho tới xác thối, Eutheria có thể thích nghi với một thế giới lạnh lẽo và thiếu thốn. Chúng đã đợi được cho tới khi đám mây bụi lắng xuống và sự sống xanh bắt đầu nảy nở trở lại. Trái Đất lúc này như được sinh ra một lần nữa.
Thông tin nào sau đây KHÔNG THỂ suy ra từ nội dung của đoạn trích?
Vào khoảng thời gian nào cư dân Địa Trung Hải bắt đầu biết chế tạo công cụ bằng sắt?
Read the following passage about beginning a lifelong journey and mark the letter A, B, C, or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 23 to 30.
Lifelong learning is the continuous pursuit of knowledge and skills throughout a person's life. In today's world, where technology is evolving rapidly, lifelong learning is essential for both personal growth and career development. But just how does one go about becoming a lifelong learner?
The first step in becoming a lifelong learner is to develop a growth mindset. This means believing that your abilities can be developed through hard work, dedication and commitment. Embrace challenges, view mistakes as opportunities to learn, and be open to new ideas and perspectives. Adopting a growth mindset will help you approach learning with a positive attitude and a desire to improve.
Setting achievable goals is also an important part of lifelong learning. Goals give direction and motivation to your learning journey. First, identify areas of interest and choose specific skills or knowledge that you want to develop. Second, break your goals down into smaller, more manageable tasks and track your progress. Finally, celebrate your accomplishments along the way to stay motivated.
People learn in different ways, so it's also essential that you find the methods that work best for you. You can do this by trying out a variety of different learning methods, such as reading, watching videos, attending lectures and engaging in hands-on practice. At the same time, you should also experiment with different learning tools and techniques until you find what works best for you. Becoming a lifelong learner is a continuous process that requires dedication and effort. Developing a growth mindset, setting achievable goals, and using a variety of learning methods are essential steps to becoming a successful lifelong learner. By embracing learning as a lifelong journey, you will continue to grow, develop new skills, and stay relevant in today's ever-changing world.
(Adapted from Bright)
The word achievable in paragraph 3 could be best replaced by _____.
Sau khi cuộc phản công kinh thành Huế thất bại, Tôn Thất Thuyết đã có hành động gì?
Các phân lớp trong mỗi lớp electron được kí hiệu bằng các chữ cái viết thường, theo thứ tự là
Một ô tô đang chuyển động, sau đó giảm tốc độ. Nếu chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe, nhận xét nào sau đây là đúng?
Giá cả thị trường có chức năng gì sau đây?
Read the following passage about Traveling and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 23 to 30.
Traveling and exploring new places is an exciting way to experience different cultures and expand one’s horizons. Whether it’s a short trip to a neighbouring town or a long journey to a foreign country, stepping out into the world offers numerous benefits. It allows individuals to gain new perspectives, meet diverse people, and create lasting memories. Additionally, traveling can enhance personal growth and provide a sense of adventure and fulfillment.
One of the key advantages of traveling is the opportunity to learn about different cultures. By immersing oneself in a new environment, travellers can gain a deeper understanding of local customs, traditions, and lifestyles. This cultural exchange fosters mutual respect and appreciation among people from different backgrounds. Moreover, experiencing different cultures can challenge preconceptions and broaden one’s worldview.
Traveling also promotes personal development. Facing unfamiliar situations and overcoming challenges can boost confidence and adaptability. Travelers often find themselves navigating new cities, trying unfamiliar foods, and communicating in foreign languages. These experiences can enhance problem-solving skills and resilience. Furthermore, the sense of accomplishment from successfully managing a trip can lead to increased self-esteem and a greater sense of independence.
Another benefit of traveling is the chance to disconnect from the routine of everyday life. Exploring new places provides a break from the usual responsibilities and stresses. This can be refreshing and rejuvenating, allowing individuals to return home with a renewed sense of energy and perspective. Travel can also foster creativity by exposing individuals to new sights, sounds, and ideas.
Despite its benefits, traveling can also present challenges. Planning a trip requires time and effort, and unexpected situations can arise. However, these challenges can be viewed as opportunities for growth and learning. With careful planning and a positive mindset, the rewards of traveling far outweigh the difficulties.
In which paragraph does the writer mention the role of cultural exchange in fostering mutual respect?