Cho hàm số \(f(x)=\cos ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \(f^{2}(x) \leq 36 \forall x\) là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Phương pháp giải
Đặt \(t=\sin x+\cos x\) đưa về hàm số phụ thuộc biến \(t\) và khảo sát hàm số đó
Lời giải
Ta có :
\(\cos ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m=1-\sin ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m\)
Đặt \(t=\sin \mathrm{x}+\cos x, t \in[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)
\(\Rightarrow t^{2}=(\sin x+\cos x)^{2} \Leftrightarrow t^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+\sin 2 x\)
\(\Rightarrow \sin 2 x=t^{2}-1\)
Khi đó ta được: \(1-\left(t^{2}-1\right)^{2}+2 t^{3}-3\left(t^{2}-1\right)+m=1-\left(t^{2}-1\right)\left(t^{2}+2\right)+2 t^{3}+m\)
Xét \(h(t)=1+2 t^{3}-\left(t^{2}-1\right)\left(t^{2}+2\right)=-t^{4}+2 t^{3}-t^{2}+3\)
Ta có \(f^{2}(x) \leq 36, \forall x \Leftrightarrow|h(t)+m| \leq 6 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}h(t)+m \leq 6 \\ h(t)+m \geq-6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}h(t) \leq 6-m \\ h(t) \geq-6-m\end{array}\right.\right.\)
Xét hàm số \(h(t)=-t^{4}+2 t^{3}-t^{2}+3\) trên đoạn \([-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)
\(h^{\prime}(t)=-4 t^{3}+6 t^{2}-2 t \Rightarrow h^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0 \\ t=1 \\ t=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
Ta có bảng biến thiên :
Khi đó
\(\left\{\begin{array}{l}h(t) \leq 6-m \\ h(t) \geq-6-m\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Max}_{t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]} h(t) \leq 6-m \\ \operatorname{Min}_{t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]} h(t) \geq-6-m\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3 \leq 6-m \\ -3+4 \sqrt{2} \geq-6-m\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq 3 \\ m \geq-3-4 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow m \in\{-8 ;-7 ;-6 ;-5 ;-4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}\)
Đề Thi Tham Khảo Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 2 mang đến cho thí sinh một trải nghiệm thi cử mới mẻ, bám sát chương trình GDPT 2018, kiểm tra khả năng Giải Quyết Vấn Đề, Tư Duy Sáng Tạo, Giao Tiếp và Hợp Tác. Với thời lượng 195 phút, bài thi bao gồm ba phần: Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng, Văn Học - Ngôn Ngữ/Tư Duy Định Tính và Khoa Học/Tiếng Anh. Mỗi phần đều có dạng thức câu hỏi phong phú như trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn và điền đáp án, đảm bảo đánh giá toàn diện năng lực học sinh trên nhiều khía cạnh học thuật khác nhau.
Câu hỏi liên quan
Mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best arrangement of utterances or sentences to make a meaningful exchange or text in each of the following questions from 13 to 17.
a. After the movie, we can hang out for a bit and talk about it; I’m sure it will be a lot of fun!
b. I heard so many good things about "Boy Già," and I think it would be a perfect movie for us to watch together.
c. To make things easier, why don’t you take the bus to the school gate? I’ll be waiting there to pick you up.
d. I really hope we’ll have a wonderful time together this Saturday. Let me know if this plan works for you!
e. How have you been lately? I hope everything is going well for you.
Best wish
Hội đồng nhân dân được phân cấp theo đơn vị hành chính gồm mấy cấp cơ bản?
Câu nào sau đây không đúng?
Sự phối hợp của những loại hoocmôn nào có tác động làm cho niêm mạc dạ con dày, phồng lên, tích đầy máu trong mạch chuẩn bị cho sự làm tổ của phôi trong dạ con?
Khi gọi hàm, dữ liệu được truyền vào hàm được gọi là gì?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ \(\mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}, \mathrm{Oz}\) và \(\vec{u}\) là một vecto tùy ý khác \(\overrightarrow{0}\). Tính \(\mathrm{T}=\cos ^2(\vec{u}, \vec{i})+\cos ^2(\vec{u}, \vec{j})+\cos ^2(\vec{u}, \vec{k})\)?
Ý nào dưới đây là thể hiện đặc điểm của tín dụng thương mại?
Tam giác ABC có \(a = 8,b = 3,B = {60^ \circ }\). Độ dài cạnh \(b\) là?
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng?
Quốc huy nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam có nền mà gì?
Dịch tả lợn cổ điển có mấy thể bệnh?
Nguồn gốc của các loại vật nuôi hiện nay là?
Theo quy định pháp luật, lao động nam và lao động nữ đều được bình đẳng về cơ hội nào?
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương, biết rằng \(\log _{2}(a b)=\log _{32}\left(\frac{b}{a}\right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the correct option that best fits each of the numbered blanks from 18 to 23.
AI (Artificial Intelligence) is revolutionizing the medical field by providing more accurate diagnoses and personalized treatment plans. Since its development, AI has become increasingly integrated into healthcare, (18) ___________. One of the most prominent examples is its use in medical imaging, where AI-powered systems are capable of detecting diseases, like cancer, with remarkable precision.
AI systems are particularly valued for their ability to process vast amounts of data quickly, enabling doctors to focus on patient care rather than administrative tasks. These advancements have led to (19) ___________, allowing for better overall outcomes. Not only does AI reduce the potential for human error, but it also continuously improves through learning from new medical data.
Medical AI systems have also (20) ___________. By analyzing genetic information and patient histories, AI can suggest potential treatment options that may have been overlooked by human experts. Moreover, these systems often lack the information needed to recommend the best treatment, ensuring that treatments are more effective and better suited to individual needs.
Despite the many benefits, some critics argue that there are still ethical concerns about the widespread adoption of AI in healthcare. For example, (21) ___________ could lead to overreliance on machines, reducing the need for skilled medical professionals. However, proponents believe that as AI continues to evolve, the medical field will revert to traditional methods By working alongside human experts, AI has the potential to transform healthcare, making it more efficient and accessible for all.
In summary, the rise of AI in medicine is an exciting development that shows great promise. It is essential (22) ___________. As these technologies advance, doctors may struggle to trust AI in complex cases.
Năm 1949, các nước phương Tây đã thành lập Liên minh quân sự Bắc Đại Tây Dương (NATO), tiếp đó học phục hồi và tái vũ trang Tây Đức, cuối cùng cũng kết nạp Tây Đức vào NATO, đe dọa nghiêm trọng đến an ninh của Liên Xô và các nước xã hội chủ nghĩa kháKhi các nước phương Tây phê chuẩn Hiệp ước Luân Đôn và Pari tháng 5/1955 (về việc Tây Đức gia nhập NATO), Liên Xô đã tuyên bố hủy bỏ các Hiệp ước đồng minh đã kí với Anh năm 1942 và với Pháp năm 1944. Tiếp đó, Liên Xô và các nước chủ nghĩa Đông Âu (gồm A-ba-ni, Ba Lan, Bun-ga-ri, Hung-ga-ri CHDC Đức, Ru-ma-ni và Tiệp Khắc) đã tiến hành cuộc họp khẩn cấp tại Vác-sa-va từ ngày11-14/5/1955. CHND Trung Hoa cũng tham gia với tư cách là quan sát viên. Các nước đã kí Hiệp ước hữu nghị, hợp tác và giúp đỡ lẫn nhau” (còn gọi là Hiệp ước Vác-sa-va). Phù hợp với Hiến chương Liên hợp quốc, các thành viên Hiệp ước cam kết không dùng vũ lực trong quan hệ quốc tế và giải quyết các vấn đề tranh chấp bằng biện pháp hòa bình; tuyên bố sẵn sàng tham gia mọi hoạt động quốc tế nhằm tìm kiếm các biện pháp tích cực để bảo vệ hòa bình và an ninh thế giới, để cắt giảm vũ khí và cấm các loại vũ khí giết người hàng loạt.
(Theo giáo trình lịch sử quan hệ quốc tế 1945-1990, trang 36)
Khi nào các nước phương Tây thành lập khối Liên minh quân sự Bắc Đại Tây Dương?
Chủ thể có vai trò tác động để điều chỉnh và khắc phục những vấn đề nảy sinh trong quá trình phát triển kinh tế - xã hội được gọi là gì?
Nước ta rơi vào ách đô hộ của nhà Minh đánh dấu bằng sự kiện nào?
Nhà nước thực hiện thu thuế thu nhập đặc biệt nhằm những mục đích nào sau đây?
Nguyên nhân nào dưới đây khiến nền kinh tế của khu vực Mỹ La tinh còn chậm phát triển?
