Cho hàm số \(f(x)=\cos ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \(f^{2}(x) \leq 36 \forall x\) là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Phương pháp giải
Đặt \(t=\sin x+\cos x\) đưa về hàm số phụ thuộc biến \(t\) và khảo sát hàm số đó
Lời giải
Ta có :
\(\cos ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m=1-\sin ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m\)
Đặt \(t=\sin \mathrm{x}+\cos x, t \in[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)
\(\Rightarrow t^{2}=(\sin x+\cos x)^{2} \Leftrightarrow t^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+\sin 2 x\)
\(\Rightarrow \sin 2 x=t^{2}-1\)
Khi đó ta được: \(1-\left(t^{2}-1\right)^{2}+2 t^{3}-3\left(t^{2}-1\right)+m=1-\left(t^{2}-1\right)\left(t^{2}+2\right)+2 t^{3}+m\)
Xét \(h(t)=1+2 t^{3}-\left(t^{2}-1\right)\left(t^{2}+2\right)=-t^{4}+2 t^{3}-t^{2}+3\)
Ta có \(f^{2}(x) \leq 36, \forall x \Leftrightarrow|h(t)+m| \leq 6 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}h(t)+m \leq 6 \\ h(t)+m \geq-6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}h(t) \leq 6-m \\ h(t) \geq-6-m\end{array}\right.\right.\)
Xét hàm số \(h(t)=-t^{4}+2 t^{3}-t^{2}+3\) trên đoạn \([-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)
\(h^{\prime}(t)=-4 t^{3}+6 t^{2}-2 t \Rightarrow h^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0 \\ t=1 \\ t=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
Ta có bảng biến thiên :
Khi đó
\(\left\{\begin{array}{l}h(t) \leq 6-m \\ h(t) \geq-6-m\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Max}_{t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]} h(t) \leq 6-m \\ \operatorname{Min}_{t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]} h(t) \geq-6-m\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3 \leq 6-m \\ -3+4 \sqrt{2} \geq-6-m\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq 3 \\ m \geq-3-4 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow m \in\{-8 ;-7 ;-6 ;-5 ;-4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}\)
Đề Thi Tham Khảo Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 2 mang đến cho thí sinh một trải nghiệm thi cử mới mẻ, bám sát chương trình GDPT 2018, kiểm tra khả năng Giải Quyết Vấn Đề, Tư Duy Sáng Tạo, Giao Tiếp và Hợp Tác. Với thời lượng 195 phút, bài thi bao gồm ba phần: Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng, Văn Học - Ngôn Ngữ/Tư Duy Định Tính và Khoa Học/Tiếng Anh. Mỗi phần đều có dạng thức câu hỏi phong phú như trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn và điền đáp án, đảm bảo đánh giá toàn diện năng lực học sinh trên nhiều khía cạnh học thuật khác nhau.
Câu hỏi liên quan
Trong ngôn ngữ lập trình Python, phát biểu nào sau đây là đúng?
Phương án nào dưới đây không thuộc vai trò của thuế?
Trong nguyên tử tổng số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là
Read the following leaflet and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the option that bestfits each of the numbered blanks from 7 to 12.
HEALTHY EATING HABITS
Let's explore how we can improve our eating habits for a healthier lifestyle.
Facts and figures.
Many people consume much sugar and unhealthy fats every day. In fact, studies show that we (7) _____ over 200 grams of sugar daily, which can lead to (8) _____ health issues.
Positive actions!
• Choose whole foods and fresh products. This helps reduce the intake of (9) _____ additives that can be harmful to your health.
• (10) _____ buying sugary snacks, make your own healthy snacks at home! Preparing your meals can help control the (11) _____ of sugar and salt you consume.
• Drink plenty of water. Limit your intake of sugary drinks and (12) _____ to maintain a balanced diet.
Thả một quả bóng từ độ cao h xuống sàn nhà. Thế năng của quả bóng được chuyển hóa thành những dạng năng lượng nào ngay khi quả bóng chạm vào sàn nhà?
Một viên đạn được bắn theo phương ngang ở độ cao 196 m phải có vận tốc ban đầu là bao nhiêu để ngay lúc chạm đất có vận tốc là 100 m/s? Lấy g = 9,8 m/s2.
Quyền hạn và nghĩa vụ của cơ quan, tổ chức, đơn vị, cá nhân có liên quan đến ngân sách nhà nước được quy định cụ thể trong văn bản pháp luật nào?
Cho tập hợp M={(x;y)∣∣x;y∈N, x+y=1}. Tập M có bao nhiêu phần tử?
Đặc điểm nào là đúng khi nói về con đường hấp thụ nước và ion khoáng qua thành tế bào – gian bào ở rễ cây?
Read the following passage and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 23 to 30.
The 22nd Southeast Asian Games were held in Vietnam from December 5th to 13th, 2003. It marked the first time Vietnam hosted such a significant sporting event, yet the Games were a great success. They became a grand festival that impressed sports enthusiasts with their spirit of solidarity, cooperation for peace, and development. The event demonstrated Vietnam's capability to unite the region through sports.
Athletes from 11 participating countries competed in 32 sports, winning a total of 444 gold medals. Teams in table tennis, badminton, karate, volleyball, basketball, and wrestling showcased some of the region’s top competitors. Notably, many records set during the Games were close to international standards. Vietnam emerged victorious, securing 158 gold medals and finishing at the top of the medal standings. Thailand came second with 90 golds, while Indonesia ranked third with 55. Singapore and Vietnam were the only nations with participants honored as the Most Outstanding Athletes in Swimming and Shooting events.
In football, the Vietnamese Women's Football team successfully defended their SEA Games title, a moment of pride for the host nation. In the Men's Football Final, Vietnam faced Thailand but lost, with the Thai team taking home the gold medal. Other sports, such as karate, athletics, bodybuilding, and wushu, saw young and talented Vietnamese athletes delivering exceptional performances and securing numerous gold medals. The strong performance of the athletes reflected Vietnam's growing prowess in the regional sports arena.
Vietnam’s first-place finish was not surprising. To prepare for the 22nd SEA Games, the country implemented an intensive training program for its athletes, involving both domestic and international facilities. Furthermore, the enthusiastic support from the Vietnamese people inspired the athletes to compete in high spirits. This success solidified Vietnam’s reputation as an excellent host for international sporting events. With this achievement, Vietnam has demonstrated its potential to host even larger competitions, such as the Asian Games, in the future.
The word “showcased” in paragraph 2 could be best replaced by:
Trong bài thực hành đo gia tốc trọng trường của Trái Đất tại phòng thí nghiệm Vật lý Trường THPT Chuyên Tỉnh Thái Nguyên. Bạn Thảo Lớp Toán K29 đo chiều dài con lắc đơn có kết quả là \(l = 100,00 \pm 1,00cm\) thì chu kì dao động \(T = 2,00 \pm 0,01s\). Lấy \({\pi ^2} = 9,87\). Gia tốc trọng trường tại đó là:
- Tập hợp X = {2; 7} có bao nhiêu phần tử?
Để đo chiều cao tòa tháp người ta dùng dụng cụ đo góc có chiều cao \(1,2~\text{m}\) đặt tại hai vị trí trên mặt đất cách nhau một khoảng \(AB=30~\text{m}\). Tại vị trí \(A\) và \(B\) góc đo thu được so với phương ngang lần lượt là \(\alpha ={{65}^{{}^\circ }};\beta ={{50}^{{}^\circ }}\) (hình minh họa). Chiều cao \((h)\) của tòa tháp (từ điểm \(M\) tới mặt đất) là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)
Nguyên nhân nào thúc đẩy các quốc gia trên thế giới hình thành liên minh chống phát xít?
Cho mệnh đề chứa biến P(x): "x+10≥x2" với x là số tự nhiên. Mệnh đề nào sau đây sai?
Thị trường có bao nhiêu chức năng cơ bản?
Read the following passage about the cultural diversity and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 1 to 10.
[I] In today's globalized world, cultural diversity has become a fundamental aspect of many societies. [II] Many countries are experiencing increasing levels of migration. [III] With the rise of immigration and the blending of traditions, people from various cultural backgrounds are now living side by side in cities across the globe. [IV]
One of the key advantages of cultural diversity is the richness that it adds to a society. Different cultures introduce unique viewpoints, foods, languages, and traditions, which help people broaden their understanding of the world. In schools and workplaces, cultural diversity fosters creativity and innovation, as individuals from different backgrounds approach problems in innovative ways. However, there are also challenges associated with living in culturally diverse communities. Misunderstandings and communication barriers can arise when people are unfamiliar with each other's customs and values. To address these issues, societies must encourage cultural sensitivity and create opportunities for cross-cultural exchange.
Governments and institutions around the world are beginning to implement policies that promote inclusion and respect for cultural differences. By celebrating diversity through events, education, and media representation, communities can create environments where people feel valued regardless of their background. Ultimately, embracing cultural diversity helps to build more peaceful and harmonious societies.
The word “harmonious” in paragraph 3 is OPPOSITE in meaning to _______.
Ưu điểm công nghệ sấy thăng hoa:
Giá trị lớn nhất của \(F(x;y) = 5x - 3y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)
Chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy . Thể tích khối chóp đó bằng?