Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 5 m. Một ô tô \(A\) đang chạy với vận tốc \(16\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}/\text{s}\) thì gặp ô tô \(B\) đang dừng đèn đỏ nên ô tô \(A\) hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức \({{v}_{A}}\left( t \right)=16-4t\) (đơn vị tính bằng \(\text{m}/\text{s}\), thời gian \(t\) tính bằng giây).

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(\int_{3}^{5}{f\left( x \right)dx}=2\). Biểu thức \(\int_{5}^{3}{f\left( x \right)dx}\) bằng:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc \(72\) \(km/h\) thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó \(45\ m\). Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \(v\left( t \right)=-12t+24\ \left( m/s \right)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quảng đường xe ô tô đi được trong \(t\) (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right)=\frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t\,\,\,\left( \text{m}/\text{s} \right)\), trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn 10 giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\left( \text{m}/{{\text{s}}^{2}} \right)\) ( \(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp \(A\).

Giá trị của \(\int\limits_{0}^{1}{\left( 2024x+2025 \right)\text{d}x}\) bằng:

Nếu \(\int_{1}^{2}{f}\left( x \right)\text{d}x=4\) thì \(\int_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-3 \right]}\text{d}x\) bằng:

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như hình bên dưới, có vận tốc tức thời cho bởi \(v(t) = 2\cost\), trong đó t tính bằng giây và \(v(t)\) tính bằng cm/s. Tại thời điểm \(t = 0\), con lắc ở vị trí cân bằng. Tính quãng đường mà con lắc lò xo di chuyển được sau 1 giây kể từ vị trí cân bằng theo đơn vị centimet (làm tròn đến hàng phần trăm).

Hàm số \({y=f\left(x\right)}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của \({\int\limits_{-2}^2{f\left(x\right)\mathrm{d}x}}\) bằng:

Biết \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx=4\). Khi đó: \(\int\limits_{1}^{3}{\left[ 2f\left( x \right)-x \right]}dx\) bằng:

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \([1;2]\). Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([1;2]\) thỏa mãn \(F(-1) = 2\) và \(F(2) = 3\). Khi đó \(\int_1^2 f(x)dx\) bằng

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là \(36\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\). Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v\left( t \right)=at+b\) \((a,b\in \mathbb{R},a>0)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Tích phân \({\int\limits_1^2 \frac{1}{x \sqrt{x}} {d} x}\) có giá trị bằng:

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a\,;\,b \right]\). Tích phân \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng:

Nếu \(\int\limits_{1}^{2}f(x)dx = -2\) thì \(\int\limits_{2}^{2}f(x)dx\) bằng:

Tính tích phân \(I=\int_{-1}^{0}{\left( 2x+1 \right)}dx\).

Tính tích phân\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x}dx\).

Hàm số \({y=f\left(x\right)}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của \({\int\limits_{-2}^2{f\left(x\right)\mathrm{d}x}}\) bằng:

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ

\(v\left( t \right)=2,01t-0,025{{t}^{2}}\left( 0\le t\le 10 \right)\).

Trong đó \(v\left( t \right)\) tính theo \(\text{m}/\text{s}\), thời gian \(t\) tính theo \(s\) với \(t=0\) là thời điểm xe xuất phát.

Cho \(f\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\). Biết \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right)=6\) và \(F\left( 4 \right)=3\). Tính \(\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

Nếu \(\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left[ \text{sin}x-3f\left( x \right) \right]}\text{d}x=6\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{f}\left( x \right)\text{d}x\) bằng:

Biết \(F\left( x \right)={{x}^{2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_{1}^{3}{\left[ 1+f(x) \right]dx}\) bằng: