Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33 và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng 44 (nhập đáp án vào ô trống)?

Trả lời:

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Vì \({{u}_{1}}\) chẵn và trong dãy có số hạng lè nên \(d\) lẻ.

Trường hợp 1: Dãy số có lẻ số hạng.

Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n}};{{u}_{2n+1}}\).

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n+1}}=44 \\ {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}} \right)\cdot (n+1)}{2}=44 \\ \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33 \\\end{array} \right. \right.\).

Mà \({{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n}}+d={{u}_{2}}+{{u}_{2n}}\) nên \(\frac{n+1}{n}=\frac{44}{3}\Rightarrow n=3\).

\(\Rightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}+{{u}_{7}}=77\) \(\Leftrightarrow 7{{u}_{4}}=77\Leftrightarrow {{u}_{4}}=11\).

+) Với \(d>0\):

Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=11\Leftrightarrow 3d=11-{{u}_{1}}\).

Do \({{u}_{1}}\ge 2\Rightarrow 3d\le 11-2\Leftrightarrow 3d\le 9\Leftrightarrow d\le 3\).

Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{1;3\}\).

+) Với \(d<0\):

Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{7}}-3d=11\Leftrightarrow {{u}_{7}}=3d+11\).

Do \({{u}_{7}}>0\Rightarrow 3d+11>0\Leftrightarrow d>-\frac{11}{3}\). \(\Rightarrow -\frac{11}{3}<d<0\).

Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{-3;-1\}\).

Trường hợp 2: Dãy số có chẵn số hạng.

Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n-1}};{{u}_{2n}}\).

Do đó, để tổng số hạng có giá trị chẵn lớn hơn tổng số hạng có giá trị lẻ thì \(d<0\).

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n-1}}=44 \\ {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}} \right)\cdot n}{2}=44 \\ \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33 \\\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}}{2}=\frac{44}{n} \\ \frac{{{u}_{2}}+{{u}_{2n}}}{2}=\frac{33}{n} \\\end{array} \right. \right. \right.\)

Mà \({{u}_{2}}+{{u}_{2n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}+2d\) nên \(\frac{33}{n}=\frac{44}{n}+d\Leftrightarrow nd=-11\).

Do \(n\) là số tự nhiên và \(d\) lẻ nên \(\left[ \begin{array}{*{35}{l}} n=11;d=-1 \\ n=1;d=-11 \\\end{array} \right.\).

Với \(n=11\); \(d=-1\) thì

\(\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{21}}}{2}=\frac{44}{11}\Leftrightarrow \frac{2{{u}_{1}}+20d}{2}=4\Leftrightarrow {{u}_{1}}=14\Rightarrow {{u}_{21}}=-6\).

Do các số hạng của cấp số cộng là số tự nhiên nên trường hợp này không thoả mãn.

Với \(n=1\); \(d=-11\) cấp số cộng có hai số hạng là \({{u}_{1}}=44\); \({{u}_{2}}=33\).

Vậy có 5 cấp số cộng thoả mãn yêu cầu bài toán.

Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33 và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng 44 (nhập đáp án vào ô trống)?

Đề Thi Minh Họa Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 01 - Phần 1: Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng

Câu hỏi liên quan

Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33 và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng 44 (nhập đáp án vào ô trống)?

Đề Thi Minh Họa Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 01 - Phần 1: Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng

Câu hỏi liên quan

BỘ TÀI LIỆU CAO CẤP

TÀI LIỆU THAM KHẢO