Cho phương trình \(m\text{sin}x+\left( m-1 \right)\text{cos}2x+5=0\) (trong đó \(m\) là tham số). Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là (……).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Phương trình đã cho là:
\(m\sin x+(m-1)\cos 2x+5=0\).
Sử dụng công thức \(\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\), ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}} {} & m\sin x+(m-1)(1-2{{\sin }^{2}}x)+5 & =0 \\ \Leftrightarrow & m\sin x+m-1-2m{{\sin }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x+5 & =0 \\ \Leftrightarrow & -2(m-1){{\sin }^{2}}x+m\sin x+m+4 & =0 \\\end{array}\)
Đặt \(t=\sin x\), với \(t\in [-1;1]\). Phương trình trở thành:
\(2(m-1){{t}^{2}}-mt-m-4=0\) (1).
v Trường hợp 1: m = 1.
Nếu \(m=1\), phương trình (1) trở thành:
\(-t-5=0\Rightarrow t=-5\).
Vì \(t=-5\notin [-1;1]\), phương trình vô nghiệm khi \(m=1\).
v Trường hợp 2: m ≠ 1.
Nếu \(m\ne 1\), phương trình (1) là phương trình bậc hai.
Để phương trình ban đầu vô nghiệm, phương trình (1) phải không có nghiệm trên đoạn \([-1;1]\).
Xét \(f(t)=2(m-1){{t}^{2}}-mt-m-4=0\).
Để phương trình vô nghiệm trên \([-1,1]\), ta xét các trường hợp sau:
1. Phương trình vô nghiệm: \(\Delta <0\).
\(\Delta ={{m}^{2}}+8(m-1)(m+4)={{m}^{2}}+8({{m}^{2}}+3m-4)=9{{m}^{2}}+24m-32\).
\(\begin{align} & 9{{m}^{2}}+24m-32<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{-12-4\sqrt{17}}{9}<m<\frac{-12+4\sqrt{17}}{9} \\ & \Leftrightarrow -3.8<m<1.1 \\ \end{align}\)
Các giá trị nguyên của \(m\) là \(\left\{ -3,-2,-1,0,1 \right\}\).
2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm ngoài khoảng \([-1,1]\) khá phức tạp, chúng ta có thể thử các giá trị nguyên của \(m\) trong một khoảng lớn hơn để kiểm tra.
Thử với \(m=-4,-5,2,3\):
\(m=-4\): \(-10{{t}^{2}}+4t=0\), nghiệm là \(t=0,t=2/5\).
Cả hai nghiệm đều nằm trong \([-1,1]\), loại.
\(m=-5\): \(-12{{t}^{2}}+5t+1=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.
\(m=2\): \(2{{t}^{2}}-2t-6=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t-3=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.
\(m=3\): \(4{{t}^{2}}-3t-7=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.
Tuy nhiên, có một cách tiếp cận khác là xét các trường hợp khi nghiệm của phương trình bậc hai (nếu có) đều nằm ngoài khoảng \([-1,1]\).
Điều này xảy ra khi:
\(f(-1)\) và \(f(1)\) cùng dấu và \(\Delta \ge 0\).
\(f(-1)=2(m-1)+m-m-4=2m-2-4=2m-6\).
\(f(1)=2(m-1)-m-m-4=2m-2-2m-4=-6\).
Để \(f(-1)\) và \(f(1)\) cùng dấu, \(2m-6\) phải âm, tức là:
\(2m-6<0\Leftrightarrow m<3\).
Kết hợp với điều kiện \(\Delta \ge 0\), ta có \(9{{m}^{2}}+24m-32\ge 0\).
Điều này xảy ra khi \(m\le \frac{-12-4\sqrt{17}}{9}\) hoặc \(m\ge \frac{-12+4\sqrt{17}}{9}\).
Vậy \(m\le -3.8\) hoặc \(m\ge 1.1\).
Kết hợp với \(m<3\), ta có các giá trị nguyên của \(m\) là:
\(m=\left\{ 1,2,-4,-5,-6,... \right\}\)
Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình vô nghiệm. Các giá trị \(m=-3,-2,-1,0\) không thỏa mãn. Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1, 2 và các giá trị nhỏ hơn \(-3\).
Kiểm tra lại với \(m=2\):
\(\begin{align} & 2\sin x+\cos 2x+5=0 \\ & \Leftrightarrow 2\sin x+1-2{{\sin }^{2}}x+5=0 \\ & \Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x+2\sin x+6=0 \\ & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-\sin x-3=0. \\ \end{align}\)
Phương trình này có nghiệm \(\sin x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\).
Một nghiệm lớn hơn 1, một nghiệm nhỏ hơn -1, nên phương trình vô nghiệm.
Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình vô nghiệm.
Các giá trị \(m=-3,-2,-1,0\) không thỏa mãn.
Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1, 2 và các giá trị nhỏ hơn \(-3\).
Các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là
\(m=\left\{ 1,2,-4,-5,-6 \right\}\).
Tổng cộng có 6 giá trị.
Vậy số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là 6.
Đề thi minh họa đánh giá tư duy TSA 2025 là bài kiểm tra mô phỏng bài thi chính thức, giúp thí sinh rèn luyện khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề. Đề thi bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận, bám sát cấu trúc đề thi chuẩn, phù hợp với các thí sinh dự kiến tham gia kỳ thi đánh giá tư duy năm 2025. Đây là tài liệu hữu ích giúp thí sinh làm quen với dạng bài thi, nâng cao kỹ năng suy luận và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi chính thức.
Câu hỏi liên quan
Nguyên tử các nguyên tố thuộc nhóm VA có số electron lớp ngoài cùng là
Read the passage and mark the letter A, B, C or D to answer the following questions.
Volunteering offers many of the same social benefits, with the added bonus of helping others and developing useful skills to put on your CV. Plus, students are in a unique position to help, suggests Tom Fox. "They can take their enthusiasm and excitement for opportunities and share their passions, subject knowledge and experience with people." The idea of giving up time for nothing might seem impractical at first, especially once the pressures of study and coursework or exams begin to mount up. However, Michelle Wright, CEO of charity support organization Cause4, suggests seeing volunteering as a two-way street. "I think it is fine for undergraduates to approach volunteering as a symbiotic relationship where doing good is just one part of the motivation for reaching personal and professional goals."
Katerina Rudiger, head of skills and policy campaigns at the Chartered Institute of Personnel and Development (CIPD), says: "Volunteering can be a valuable way of gaining that experience, as well as building confidence, broadening your horizons, becoming a better team player and developing those all- important 'employability skills' such as communication and decision making." Amanda Haig, graduate HR manager, agrees that volunteering can help your employment prospects. "Volunteering can demonstrate positive personality traits and skill sets, such as proactivity, and teamwork," she says.
A positive side-effect of volunteering is improving your time at university by getting involved in the local community. Leaving the student bubble can make your time as an undergraduate much more varied. At Bath Spa University, more than 1,000 students volunteered over the past year, doing everything from working on local environmental projects to helping in schools or assisting the elderly. ”Quite often there can be a divide between students and permanent residents," says students' union president Amy Dawson, "but if students invest a little time now, they will be giving something back to the local community and will reap the benefits in the future."
“You might also find that volunteering helps your studies if you choose the right program. At Lancaster, volunteering is linked into academic modules in some cases", explains Fox. "This has multiple wins. Students get to apply their learning in the classroom and share their interests with children in local schools or community organizations, while schools gain skilled students with a passion for a subject that enthuses their pupils."Which of the following information is NOT mentioned in paragraph 1?
Cường độ điện trường là gì?
Cấu trúc xương của phần trên ở tay người và cánh dơi là rất giống nhau trong khi đó các xương tương ứng ở cá voi lại có hình dạng và tỷ lệ rất kháTuy nhiên, các số liệu di truyền chứng minh rằng tất cả ba loài sinh vật nói trên đều được phân ly từ một tổ tiên chung và trong cùng một thời gian.
Những nhận định nào dưới đây không đúng về hiện tượng trên?
(I) Sự tiến hoá của chi trước thích nghi với người và dơi nhưng chưa thích nghi với cá voi.
(II) Chọn lọc tự nhiên trong môi trường nước đã tích lũy những biến đổi quan trọng trong giải phẫu chi trước của cá voi.
(III) Người và dơi đều được tiến hoá bằng cơ chế chọn lọc tự nhiên.
(IV) Có thể xác định được các gene đột biến ở cá voi nhanh hơn so với ở người và dơi.
Thông tin nào sau đây không đúng về ?
Ngành công nghiệp văn hóa nào sau đây cần thiết phải sử dụng chất liệu lịch sử trong quá trình phát triển?
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=−x^3\) tại điểm có hoành độ bằng -1 là:
chọn đúng hoặc sai với mỗi ý a), b), c), d)
Hình bên biểu diễn một thanh dẫn điện MN trượt trên hai thanh kim loại theo chiều vuông góc với cảm ứng từ. Biết \(B = 0,40\;{\rm{T}},{\rm{MN}} = {\rm{PQ}} = 0,20\;{\rm{m}}.\) Thanh MN đang chuyển động về bên trái với vận tốc có độ lớn \(0,2\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) và có hướng vuông góc với nó. Toàn bộ mạch có điện trở \(2,0\Omega .\) Các thanh kim loại không nhiễm từ, bỏ qua ma sát.
Hệ thống chính trị Việt Nam được tổ chức và hoạt động theo mấy nguyên tắc cơ bản?
GPS và bản đồ số dùng không có chức năng nào sau đây?
Read the following passage and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the correct answer to each of the questions:
For many people who live in cities, parks are an important part of the landscape. They provide a place for people to relax and play sports, as well as a refuge from the often harsh environment of a city. What people often overlook is that parks also provide considerable environmental benefits.
One benefit of parks is that plants absorb carbon dioxide - a key pollutant - and emit oxygen, which humans need to breathe. According to one study, an acre of trees can absorb the same amount of carbon dioxide that a typical car emits in 11,000 miles of driving. Parks also make cities cooler. Scientists have long noted what is called the Urban Heat Island Effect: building materials such as metal, concrete, and asphalt absorb much more of the sun’s heat and release it much more quickly than organic surfaces like trees and grass. Because city landscapes contain so much of these building materials, cities are usually warmer than surrounding rural areas. Parks and other green spaces help to mitigate the Urban Heat Island Effect.
Unfortunately, many cities cannot easily create more parks because most land is already being used for buildings, roads, parking lots, and other essential parts of the urban environment. However, cities could benefit from many of the positive effects of parks by encouraging citizens to create another type of green space: rooftop gardens. While most people would not think of starting a garden on their roof, human beings have been planting gardens on rooftops for thousands of years. Some rooftop gardens are very complex and require complicated engineering, but others are simple container gardens that anyone can create with the investment of a few hundred dollars and a few hours of work.
Rooftop gardens provide many of the same benefits as other urban park and garden spaces, but without taking up the much-needed land. Like parks, rooftop gardens help to replace carbon dioxide in the air with nourishing oxygen. They also help to lessen the Urban Heat Island Effect, which can save people money.
In the summer, rooftop gardens prevent buildings from absorbing heat from the sun, which can significantly reduce cooling bills. In the winter, gardens help hold in the heat that materials like brick and concrete radiate so quickly, leading to savings on heating bills. Rooftop vegetable and herb gardens can also provide fresh food for city dwellers, saving them money and making their diets healthier. Rooftop gardens are not only something everyone can enjoy, they are also a smart environmental investment.
Question 39: The author claims all of the following to be the benefits of rooftop gardens except______.
Chu kỳ dao động điều hòa của con lắc đơn không phụ thuộc vào
Mỗi công dân cần làm gì để bảo vệ, tham gia xây dựng chính quyền địa phương?
Vào khoảng 66 triệu năm trước, một thiên thạch khổng lồ đâm xuống Trái Đất. Vụ nổ này đã tạo ra một đám mây bụi khổng lồ bao trùm lấy hành tinh, chắn hết ánh nắng Mặt Trời và tạo ra một kiểu môi trường "mùa đông hạt nhân". Không có ánh sáng, thực vật bắt đầu chết. Kế đó là các loài động vật ăn thực vật và động vật ăn thịt phụ thuộc. Ngay cả các loài khủng long khổng lồ đang thống trị toàn bộ thế giới cũng không thoát được nạn tuyệt chủng. Được gọi là cuộc đại tuyệt chủng kỉ Phấn trắng, sự kiện này cuối cùng đã giết chết 3/4 số loài thực vật và động vật trên toàn cầu. Không có bất kỳ một loài sinh vật lớn nào nặng trên 25 kg có thể tồn tại qua thời kỳ đó. Tuy nhiên, Eutheria, tổ tiên của chuột và con người, đã may mắn sống sót. Nhờ sở hữu thân hình nhỏ bé, lông lá và một chế độ ăn tạp từ hạt thực vật cho tới xác thối, Eutheria có thể thích nghi với một thế giới lạnh lẽo và thiếu thốn. Chúng đã đợi được cho tới khi đám mây bụi lắng xuống và sự sống xanh bắt đầu nảy nở trở lại. Trái Đất lúc này như được sinh ra một lần nữa.
Thông tin nào sau đây KHÔNG THỂ suy ra từ nội dung của đoạn trích?
Trong tình huống dưới đây, những ai đã vi phạm quyền và nghĩa vụ công dân về bảo vệ Tổ quốc?
"Ông Đ lập một nhóm kín trên mạng xã hội tập hợp những người có tư tưởng bất mãn với chính quyền và tổ chức họp bàn kế hoạch, chuẩn bị vũ khí, công cụ hỗ trợ dự kiến tổ chức một cuộc bạo loạn với mục đích gây mất trật tự xã hội, an ninh chính trị nhằm chống phá Nhà nước Việt Nam. Nhóm người này thường xuyên hội họp, bàn bạc kế hoạch tại nhà riêng của ông Đ tại xã X vào sáng chủ nhật hàng tuần. Anh K, chị V là hàng xóm của ông Đ. Nhận thấy những dấu hiệu khả nghi, anh K và chị V đã bí mật trình báo tới lực lượng công an xã X".
Quyền hạn, nghĩa vụ của cơ quan, tổ chức, đơn vị, cá nhân có liên quan đến ngân sách nhà nước được quy định cụ thể ở văn bản pháp luật nào?
Read the following passage about Building Understanding Across Nations and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 23 to 30.
In our interconnected world, cultural ambassadors play a vital role in bridging the gaps between different nations and peoples. These dedicated individuals and groups serve as links between cultures, fostering mutual understanding and respect through various activities and programs. Their mission is to showcase their own cultural heritage while learning about and appreciating others, creating pathways for meaningful dialogue and lasting connections across borders.
Cultural ambassadors employ numerous methods to achieve their goals. They organize traditional festivals and art exhibitions that display unique customs, allowing visitors to experience different cultures firsthand. Language exchange programs enable people to communicate more effectively, while cultural workshops teach traditional crafts, music, and dance. These ambassadors also utilize digital platforms to reach wider audiences, sharing stories and traditions through social media and online events that connect people from different corners of the world.
Despite their important work, cultural ambassadors face several challenges in their mission. Stereotypes and prejudices can create barriers to understanding, while language differences sometimes lead to misunderstandings. Limited resources and funding may restrict their activities, and political tensions between nations can complicate their efforts. However, these dedicated individuals persist in their work, believing that personal connections and shared experiences can overcome these obstacles and promote harmony among different communities.
Looking ahead, the role of cultural ambassadors becomes increasingly significant in our global society. Their efforts to build bridges between nations contribute to reducing conflicts and fostering peace. Through their continued dedication to promoting cross-cultural understanding, these ambassadors help create a more inclusive and connected world where differences are celebrated rather than feared. This ongoing process of cultural exchange remains essential for building a future based on mutual respect and cooperation.
Which of the following is NOT mentioned as a method used by cultural ambassadors?
Trong quang hợp, NADPH có vai trò nào?
Khi sử dụng các thiết bị điện trong phòng thí nghiệm Vật lí chúng ta cần lưu ý điều gì?
Chọn từ vào vị trí phù hợp:
a) Phương trình \(\text{sin}2x=\frac{1}{2}\) có một nghiệm là x = (…a…).
b) Phương trình \(\text{sin}x+2\text{cos}x=2\) có một nghiệm là x = (…b…).