Câu hỏi:

+ Đặt \(t=\sqrt{1-x}\) ta có: \(t^{\prime}=\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; 0)\)

+ Yêu cầu bài toán trở thành. tìm các giá trị nguyên của m để hàm số \(y=\frac{t+1}{t+m}\) nghịch biến trên khoảng \((1 ; 2) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(t)<0 \\ -m \notin(1 ; 2)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<1 \\ {\left[\begin{array}{l}-m \leq 1 \\ -m \geq 2\end{array}\right.}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-2 \\ -1 \leq m<1\end{array}\right.\right.\right.\).

Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số m.

Ta có: \(n(\Omega)=C_{20}^{3}\).

Gọi A là biến cố. "ba số lấy được lập thành cấp số cộng".

Giả sử ba số \(a, b, c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, khi đó ta có \(a+c=2 b\). Hay \(a+c\) là một số chẵn và mỗi cách chọn 2 số \(a\) và \(c\) thỏa mãn \(a+c\) là số chẵn sẽ có duy nhất cách chọn Số cách chọn hai số có tổng chẵn sẽ là số cách chọn ba số tạo thành cấp số cộng.

TH1. Hai số lấy được đều là số chẵn, có: \(C_{10}^{2}\) cách lấy.

TH2. Hai số lấy được đều là số lẻ, có: \(C_{10}^{2}\) cách lấy.

\(\Rightarrow n(A)=C_{10}^{2}+C_{10}^{2}\)

\(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{C_{10}^{2}+C_{10}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{38}\).

Hàm số \(y=\sqrt{1-m^{2}+2 m \sin x}\) xác định

\(\Leftrightarrow 1-m^{2}+2 m \sin x \geq 0, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow 2 m \sin x \geq m^{2}-1, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right](*)\)

+ Với \(m>0 \Rightarrow(*) \Leftrightarrow \sin x \geq \frac{m^{2}-1}{2 m}, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow \frac{m^{2}-1}{2 m} \leq 0 \Leftrightarrow m^{2}-1 \leq 0 \Leftrightarrow 0<m \leq 1\)

+ Với \(m<0 \Rightarrow(*) \Leftrightarrow \sin x \leq \frac{m^{2}-1}{2 m}, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow \frac{m^{2}-1}{2 m} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{m^{2}-1-2 m}{2 m} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2}-1-2 m \leq 0 \Leftrightarrow 1-\sqrt{2} \leq m<0\)

+ Với \(m=0 \Rightarrow y=1\) luôn xác định trên \(\mathbb{R}\)

Vậy \(1-\sqrt{2} \leq m \leq 1 \Rightarrow m=0, m=1\) là 2 giá trị nguyên.

Ta có \(|f(x)-1|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)-1=3 \\ f(x)-1=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)=4 \\ f(x)=-2\end{array}\right.\right.\).

Số nghiệm của phương trình \(|f(x)-1|=3\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) với hai đường thẳng \(y=4, y=-2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f(x)=4\) có 1 nghiệm, \(f(x)=-2\) có 3 nghiệm. Vậy số nghiệm thực của phương trình \(|f(x)-1|=3\) là 4.

Trong tam giác \(B C D\) có: \(P\) là trọng tâm, \(N\) là trung điểm \(B C\). Suy ra \(N, P, D\) thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác \(M N D\)

Xét tam giác \(M N D\), ta có \(M N=\frac{A B}{2}=a ; D M=D N=\frac{A D \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}\).

Do đó tam giác \(M N D\) cân tại \(D\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(M N\) suy ra \(D H \perp M N\).

Diện tích tam giác \(S_{\triangle M N D}=\frac{1}{2} M N. D H=\frac{1}{2} M N. \sqrt{D M^{2}-M H^{2}}=\frac{a^{2} \sqrt{11}}{4}\).