Câu hỏi:

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega)=C_{40}^{3}=9880\)

Gọi \(A\) là biến cố để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên các thẻ là một số chẵn.

TH1: 2 thẻ ghi số lẻ; 1 thẻ ghi số chẵn: \(C_{20}^{2} \cdot C_{20}^{1}=3800\)

TH2: 3 thẻ ghi số chẵn: \(C_{20}^{3}=1140\)

Vậy xác suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên các thẻ là một số chẵn là: \(\frac{3800+1140}{9880}=\frac{1}{2}\).

Ta có: \(\cos x=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-\cos ^{2} x}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4} ;\)

\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}}=\sqrt{15} ;\)

\(\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\sqrt{15}}\).

\(\Rightarrow P=\frac{15-\sqrt{15}+\frac{3}{\sqrt{15}}}{\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}}-5 \sqrt{15}+30 \cdot \frac{1}{15}}=-\sqrt{\frac{3}{5}}\).

Khai triển nhị thức Newton của \((1+2 x)^{12}\), ta có \((1+2 x)^{12}=\sum_{k=0}^{12} C_{12}^{k}(2 x)^{k}=\sum_{k=0}^{12} C_{12}^{k} 2^{k} x^{k}\).

Suy ra \(a_{k}=C_{12}^{k} 2^{k}\).

Hệ số \(a_{k}\) Ión nhất khi \(\left\{\begin{array}{l}a_{k} \geq a_{k+1} \\ a_{k} \geq a_{k-1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^{k} C_{12}^{k} \geq 2^{k+1} C_{12}^{k+1} \\ 2^{k} C_{12}^{k} \geq 2^{k-1} C_{12}^{k-1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{12-k} \geq \frac{2}{k+1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{12-k+1}\end{array} \Leftrightarrow \frac{23}{3} \leq k \leq \frac{26}{3}\right.\right.\right.\).

\(\xrightarrow[k \in \mathbb{N}]{0 \leq k \leq 12} k=8\). Vậy hệ số lớn nhất là \(a_{8}=C_{12}^{8} 2^{8}\).

Gọi \(u_{n}\) là giá của mét khoan thứ \(n\), trong đó \(1 \leq n \leq 20\).

Theo giả thiết, ta có \(u_{1}=100.000\) và \(u_{n+1}-u_{n}=30.000\) với \(1 \leq n \leq 19\).

Ta có \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_{1}=100000\) và công sai \(d=30000\).

Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng \(d\). Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là

\(S_{20}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{20}=\frac{20\left[2 u_{1}+(20-1) d\right]}{2}=7700000\) (đồng).

Vì \(A B C D\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\)

\(\Rightarrow A B \perp A D \Rightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0\)

Ta có: \(T=(\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{M C})(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B D})\)

\(=[(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A B})+2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{D C})] \cdot(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D B})\)

\(=(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{M D}+2 \overrightarrow{D C}) \cdot \overrightarrow{C B}\)

\(=\left(\frac{-1}{3} \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}+2 \cdot \frac{2}{3} \overrightarrow{A D}+2 \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right) \cdot(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})\)

\(=\left(\frac{-1}{3} \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}+\frac{4}{3} \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}\right)[\overrightarrow{A B}-(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C})]\)

\(=(2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}) \cdot\left(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right)\)

\(=(2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}) \cdot\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}\right)\)

\(=A B^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A D} \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-A D^{2}\)

\(=A B^{2}-A D^{2}=A B^{2}-\left(\frac{1}{2} A B\right)^{2}=\frac{3}{4} A B^{2}=\frac{3}{4}(6 a)^{2}=27 a^{2}\).

Vậy \(T=27 a^{2}\).