Câu hỏi:

Sử dụng máy tính bỏ túi thử với \(\alpha=\frac{\pi}{6}\) ta có \(\cos ^{4} \frac{\pi}{6}+\sin ^{4} \frac{\pi}{6}=\frac{5}{8}\).

Ta có \(I\). và II. đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác

Ta có: \(m_{a}^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{(b+c)^{2}+(b-c)^{2}-a^{2}}{4}\).

Vì \(|b-c|<a \Rightarrow(b-c)^{2}<a^{2} \Rightarrow m_{a}^{2}<\frac{(b+c)^{2}}{4} \Leftrightarrow m_{a}<\frac{b+c}{2}\).

Tương tự ta có: \(m_{b}<\frac{a+c}{2} ; m_{c}<\frac{a+c}{2}\).

Do đó: \(m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\).

Vậy III. Đúng.

ТХĐ: \(D=\mathbb{R}\).

Ta có \(y^{\prime}=8 x^{2}+\frac{2}{x}-m\). Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow y^{\prime} \geq 0 ~\forall x \in(0 ; 1)\)

\(\Leftrightarrow 8 x^{2}+\frac{2}{x}-m \geq 0 ~\forall x \in(0 ; 1) \Leftrightarrow h(x)=8 x^{2}+\frac{2}{x} \geq m ~\forall x \in(0 ; 1) \Leftrightarrow m \leq \min _{(0 ; 1)} h(x)\).

Xét hàm \(h(x)=8 x^{2}+\frac{2}{x} ~\forall x \in(0 ; 1)\). Ta có \(h^{\prime}(x)=16 x-\frac{2}{x^{2}} \Rightarrow h^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên

Từ \(\mathrm{BBT} \Rightarrow m \leq 6\), kết hợp với \(m\) nguyên dương ta được \(m \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\).

Để tìm hệ số của \(x^{9}\) trong khai triển \(P(x)\), ta cần tìm hệ số của \(x^{8}\) trong khai triển \(\left(1-2 x^{4}\right)^{5}\) và hệ số của \(x^{6}\) trong khai triển \(\left(1+x^{2}\right)^{5}\).

Ta có:

\(\begin{align}\left(1-2 x^{4}\right)^{5} & =1-5.2 x^{4}+10.\left(2 x^{4}\right)^{2}-10.\left(2 x^{4}\right)^{3}+5.\left(2 x^{4}\right)^{4}-\left(2 x^{4}\right)^{5} \\& =1-10 x^{4}+40 x^{8}-80 x^{12}+80 x^{16}-32 x^{20}\end{align}\)

\(\begin{align}\left(1+x^{2}\right)^{5} & =1+5 x^{2}+10 \cdot\left(x^{2}\right)^{2}+10 \cdot\left(x^{2}\right)^{3}+5 \cdot\left(x^{2}\right)^{4}+\left(x^{2}\right)^{5} \\& =1+5 x^{2}+10 x^{4}+10 x^{6}+5 x^{8}+x^{10}\end{align}\)

Suy ra \(P(x)=\ldots+x.40 x^{8}+\ldots+x^{3}.10 x^{6}=\ldots+50 x^{9}+\ldots\)

Vậy hệ số của \(x^{9}\) trong khai triển \(P(x)\) là 50.

+ Đặt \(t=\sqrt{1-x}\) ta có: \(t^{\prime}=\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; 0)\)

+ Yêu cầu bài toán trở thành. tìm các giá trị nguyên của m để hàm số \(y=\frac{t+1}{t+m}\) nghịch biến trên khoảng \((1 ; 2) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(t)<0 \\ -m \notin(1 ; 2)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<1 \\ {\left[\begin{array}{l}-m \leq 1 \\ -m \geq 2\end{array}\right.}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-2 \\ -1 \leq m<1\end{array}\right.\right.\right.\).

Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số m.