Câu hỏi:

Một guồng nước (còn gọi là cọn nước) có dạng hình tròn bán kính \(2,5{m}\); trục của nó cách mặt nước 2 m. Khi guồng quay đều, khoảng cách \(h\left( {m} \right)\) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức \(h=\left| y \right|\), trong đó \(y=2,5\text{sin}\left( 2\pi x-\frac{\pi }{2} \right)+2\) với \(x\) (phút) là thời gian quay của guồng nước.

(Nguồn: Đại số và Giải tích nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021)

Chọn số vào vị trí phù hợp:

Ban đầu, tại thời điểm \(x=0\), ống nước cách mặt nước: (…a…) (m).

Khoảng thời gian giữa hai lần ống nước ở vị trí cao nhất là: (…b…) (phút)

Bạn Sơn tìm nghiệm \(x\in \left[ 0;2\pi \right)\) của ba phương trình sau đây:

• Phương trình (1): \(\text{cos}x=1\);

• Phương trình (2): \(\text{sin}x=\frac{1}{2}\);

• Phương trình (3): \(\text{sin}x+\text{cos}x=\frac{3}{2}\).

Mỗi phát biểu sau đây của bạn Sơn về các phương trình trên là đúng hay sai?

Đặt một cái dây lạt thẳng lên mặt chiếc bánh chưng hình vuông đã bóc thì chiếc bánh bị chia thành hai phần. Đặt thêm một dây lạt thẳng nữa: nếu hai dây lạt không cắt nhau bên trong (hoặc chỉ cắt nhau trên rìa) mặt bánh thì chiếc bánh bị chia thành 3 phần, còn nếu hai dây lạt cắt nhau bên trong mặt bánh thì chiếc bánh lại được chia thành 4 phần (xem hình minh họa).

Chọn phương án điền vào chỗ trống để có mệnh đề đúng:

"Nếu đặt 7 dây lạt thẳng thì chiếc bánh được chia thành tối đa bao nhiêu phần?"

Xét hình đa diện \(\left( H \right)\) có tất cả các mặt là ngũ giác.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) xác định bởi \({{u}_{1}}=1,{{u}_{n}}=3\left( {{u}_{n-1}}+2 \right)\) với mọi \(n\ge 2\). Đặt \({{v}_{n}}={{u}_{n}}+3\) với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\). Mỗi phát biểu sau về các dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) và \(\left( {{v}_{n}} \right)\) là đúng hay sai?

Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Cho tứ diện \(ABCD\). Lấy hai điểm \(M,N\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Cho các khẳng định sau:

1) \(MN//\left( BCD \right)\).

2) \(MN//\left( ACD \right)\).

3) \(MN//\left( ABD \right)\).

Trong các khẳng định trên, có (……) khẳng định đúng

Cho \(a,b\) là các số nguyên thỏa mãn

\(2\le a\le 2020\), \(2\le b\le 2020\) và \(\text{lo}{{\text{g}}_{a}}b+6\text{lo}{{\text{g}}_{b}}a=5\).

Số cặp \(\left( a,b \right)\) thoả mãn là (……)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn phương trình

\({{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right)\cdot {f}''\left( x \right)=\) \(20{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+9,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0\).

Biết rằng vế trái của phương trình có thể biểu diễn dưới dạng đạo hàm của một hàm số.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\), có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng, sai của các câu sau:

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;3;4)\), \(B(-1;1;2)\), \(C(3;2;-12)\). Cho \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) thoả mãn \(A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}=174\). Hoành độ của điểm là (…a…), tung độ của điểm \(M\) là (…b…)